El nombre π

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.1​ Es un número irracional2​ y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:3​

π ≈ 3.14159265358979323846 … {\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979323846\;\dots } {\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979323846\;\dots }

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidianas.4​

π {\displaystyle \pi } \pi es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.

Lista de números – Números irracionales

ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ

Binario 11.00100100001111110110…

Decimal 3.14159265358979323846…

Hexadecimal 3.243F6A8885A308D31319…

Fracción continua 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + ⋱ {\displaystyle 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ddots }}}}}}}}} 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ddots }}}}}}}}

Nótese que la fracción continua no es periódica.

Índice

1 El nombre π

2 Historia del cálculo del valor π

2.1 Antiguo Egipto

2.2 Mesopotamia

2.3 Referencias bíblicas

2.4 Antigüedad clásica

2.5 El número π («pi») en el sistema vigesimal

2.6 Matemática china

2.7 Matemática india

2.8 Matemática islámica

2.9 Renacimiento europeo

2.10 Época moderna (precomputacional)

2.11 Época moderna (computacional)

3 Características matemáticas

3.1 Definiciones y caracterizaciones

3.2 Número irracional y trascendente

3.3 Primeras cincuenta cifras decimales

4 Fórmulas que contienen el número π

4.1 En geometría

4.2 En cálculo

4.3 En probabilidad

4.4 En análisis matemático

5 Cómputos de π

5.1 Pi y los números primos

5.2 Fórmula de Machin

5.3 Métodos eficientes

6 Aproximaciones geométricas a π

6.1 Método de Kochanski

6.2 Método de Mascheroni

7 Uso en matemática y ciencia

7.1 Geometría y trigonometría

7.2 Variable compleja

7.3 Cálculo superior

7.4 Física

7.5 Probabilidad y estadística

8 Reglas mnemotécnica

9 Cultura popular

9.1 Aparición en medios

9.2 Singularidades

10 Días de Aproximación a Pi

11 Cuestiones abiertas sobre π

12 Véase también

13 Referencias

14 Enlaces externos

El nombre π

Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια 'periferia' y περίμετρον 'perímetro' de un círculo,5​ notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones6​ (1675-1749); aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de este número en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.7​

Arquímedes lo calculó con la aproximación de 3 + 10 71 < π < 3 + 1 7 {\displaystyle 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}} {\displaystyle 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}}, tal como consignó en su obra Medición del círculo, ciertamente con otra notación.7​

Historia del cálculo del valor π

La búsqueda del mayor número de decimales del número π {\displaystyle \pi } \pi ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia.8​ Algunas aproximaciones históricas de π {\displaystyle \pi } \pi son las siguientes.

Antiguo Egipto

Detalle del papiro Rhind

El valor aproximado de π {\displaystyle \pi } \pi en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,9​ donde se emplea un valor aproximado de π {\displaystyle \pi } \pi afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:

S = π r 2 ≃ ( 8 9 ⋅ d ) 2 = 64 81 d 2 = 64 81 ( 4 r 2 ) {\displaystyle S=\pi r^{2}\simeq \left({\frac {8}{9}}\cdot d\right)^{2}={\frac {64}{81}}d^{2}={\frac {64}{81}}\left(4r^{2}\right)} S=\pi r^{2}\simeq \left({\frac {8}{9}}\cdot d\right)^{2}={\frac {64}{81}}d^{2}={\frac {64}{81}}\left(4r^{2}\right)

π ≃ 256 81 = 3 . 16049 … {\displaystyle \pi \simeq {\frac {256}{81}}=3{.}16049\ldots } {\displaystyle \pi \simeq {\frac {256}{81}}=3{.}16049\ldots }

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π {\displaystyle \pi } \pi. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,10​ describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

Mesopotamia

Hacia el 1900-1600 a. C., algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π {\displaystyle \pi } \pi igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de:

π ≈ 3 + 1 8 = 3.125 {\displaystyle \pi \approx 3+{\frac {1}{8}}=3.125} {\displaystyle \pi \approx 3+{\frac {1}{8}}=3.125}

Referencias bíblicas

Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:

Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo, y de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su contorno. Debajo del borde había calabazas todo en derredor; daban vuelta al Mar a largo de treinta codos; había dos filas de calabazas fundidas en una sola pieza.

I Reyes (Biblia de Jerusalén)

Una cita similar se puede encontrar en el Segundo libro de las crónicas. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C.:

Hizo el Mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordón de treinta codos medía su contorno.

II Crónicas (Biblia de Jerusalén)

Ambas citas dan 3 como valor de π, lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica. Al respecto, apologéticos cristianos señalan que la falta de precisión se pueda atribuir al redondeo de las dimensiones relatadas por el texto.11​

Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.

Método de aproximación de Liu Hui.

Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0.024 % y 0.040 % sobre el valor real. El método usado por Arquímedes12​ era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

π ≈ 377 120 = 3 . 1416 … {\displaystyle \pi \approx {\frac {377}{120}}=3{.}1416\ldots } {\displaystyle \pi \approx {\frac {377}{120}}=3{.}1416\ldots }

El número π («pi») en el sistema vigesimal

El número π es un coeficiente que multiplicado por el diámetro nos indica la longitud de la circunferencia. Es decir, tres veces el diámetro se acerca a la longitud de la circunferencia, pero se queda corto. En realidad

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