Filosofia

RESUMEN

El estudio de caso reportado aquí forma parte de un proyecto doctoral concluido. Hace referencia a una evaluación sobre la propuesta de enseñanza de razón y proporción desarrollada en la investigación doctoral. Tal propuesta se realizó con un grupo de sexto grado de educación elemental, conformado por 29 niños mexicanos que tenían 11 años de edad. La niña del estudio de caso, Paulina, reflejó el proceder de varios de estos niños, quienes resolvieron el cuestionario inicial con algoritmos manejados de un modo mecánico, sin darle sentido a sus elaboraciones, lo cual se vio ratificado al principio del programa de enseñanza. Dicho programa propició la ampliación del pensamiento proporcional cualitativo de Paulina, fortaleciendo su pensamiento proporcional cuantitativo en el terreno de la resolución de problemas. Así, la enseñanza, el cuestionario final y las entrevistas mostraron que el enriquecimiento del pensamiento proporcional cualitativo le permitió a Paulina ampliar las relaciones cuantitativas y mejorar el manejo de los algoritmos, enmarcándolos en aplicaciones plenas de sentido.

PALABRAS CLAVE: Pensamiento proporcional cuantitativo, pensamiento proporcional cualitativo, razón interna, razón externa, operador multiplicativo.

ABSTRACT

The case study reported here it is part of a doctoral project already concluded. It refers to the evaluation of the teaching proposal for rate and proportion developed in the Doctoral research. This proposal was carried out with a group of students of elementary school constituted by 29 eleven–year–old Mexican children. The girl of the case study (Paulina) express the behavior of various of these children, who resolved the initial questionnaire with algorithms handled on a mechanical way, without giving sense to its elaborations, which was ratified at the beginning of the teaching program. This program permitted the growth of the qualitative proportional thought of the student, fortifying its quantitative proportional thought, regarding problem solving. Thus, the teaching, the final questionnaire and the employed interviews, showed that the enrichment of the qualitative proportional thought permitted to Paulina to expand the quantitative relations and to improve the management of the algorithms, framing it in applications full of sense.

KEYWORDS: Quantitative proportional thought; qualitative proportional thought; internal rate; external rate; multiplicative operator.

RÉSUMÉ

L'étude du cas rapporté ici forme partie d'un projet de doctorat déjà conclu. Il fait référence a l'évaluation de la proposition d'enseignement de raison et de proportion, développée dans la recherche doctorale. Cette proposition s'est effectuée avec un groupe de sixième année d'éducation élémentaire composé de 29 enfants mexicains de onze ans. La fille de l'étude de cas particulier (Paulina) reflète le processus de plusieurs de ces enfants, qui ont résolu le questionnaire initial avec des algorithmes utilisés de façon mécanique, sans donner un sens à leurs élaborations, ce qui s'est vu ratifié au début du programme d'enseignement. Ce programme a permis l'amplification de la pensée proportionnelle qualitative de l'étudiante, en renforçant sa pensée proportionnelle qualitative dans le terrain de la résolution de problèmes. Ainsi, l'enseignement, le questionnaire final et les entretiens employés ont montré que l'enrichissement de la pensée proportionnelle qualitative a permis á Paulina d'élargir les relations quantitatives et d'améliorer l'usage des algorithmes, en les utilisant uniquement dans des applications pleines de sens.

MOTS CLÉS: Pensée proportionnelle quantitative ; pensée proportionnelle qualitative ; raison interne ; opérateur multiplicatif.

RESUMO

O estudo de caso aqui apresentado forma parte de um projeto de doutorado já concluído. Faz–se referência à avaliacão da proposta de ensino de razão e proporção desenvolvida na investigação de doutorado. Esta proposta se realizou com um grupo de quinta série da educação fundamental composto por 29 estudantes mexicanos de onze anos de idade. A estudande desse estudo de caso (Paulina) reflete o comportamento de vários outros, os quais responderam ao questionario inicial com algoritmos trabalhados muito mecanicamente, sem dar sentido a suas elaborações, o qual se viu ratificado no princípio do programa de ensino. Tal programa permitiu a ampliação do pensamento proporcional qualitativo da estudante, fortalecendo seu pensamento proporcional quantitativo, no terreno da resolução de problemas. Asim, o ensino, o questionário final e as entrevistas, mostraram que ol enriquecimento do pensamento proporcional qualitativo permitiu Paulina ampliar as relações quantitativas e melhorar o manejo dos algoritmos, enquadrando–os em aplicações plenas de sentido.

PALAVRAS CHAVE: pensamento proporcional quantitativo; pensamento proporcional qualitativo; razão interna; razão externa; operador multiplicativo.

MARCO TEÓRICO

A continuación, para establecer los antecedentes teóricos en este artículo, consideramos de manera preponderante a los autores Piaget y Streefland, quienes atienden a las manifestaciones del pensamiento proporcional cualitativo y cuantitativo de los sujetos. Asimismo, para sustentar la aproximación didáctica que aquí se desarrolla, nos apoyamos en el enfoque de la matemática realista, de Streefland.

Piaget e Inhelder (1978), a través de sus experimentos, señalan que el niño adquiere la identidad cualitativa antes que la conservación cuantitativa y hacen una distinción entre las comparaciones cualitativas y la verdadera cuantificación. Para Piaget e Inhelder (1972), la noción de proporción empieza siempre de una forma cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente. Piaget define lo cualitativo a través de categorías o clases de palabras; de esta forma, se apoya en reconocimientos lingüísticos, creando categorías de comparación, como grande o pequeño. Consideramos que lo cualitativo también integra los aspectos intuitivos y empíricos que brindan los sentidos, apoyándonos en términos de la psicología.

Piaget (1978) indica que en el paso de lo cualitativo a lo cuantitativo aparece la idea de orden sin que todavía emerja la cantidad, a lo que llama cuantificaciones intensivas; desde nuestro punto de vista, esta noción destaca el tránsito del pensamiento cualitativo al cuantitativo. Van den Brink & Streefland (1979) coinciden con Piaget en cuanto a que lo cualitativo emerge antes que lo cuantitativo, pero Streefland comúnmente lo lleva al terreno de la enseñanza. Tal aportación la empleamos en el diseño de nuestro programa didáctico, así como en las tareas de las entrevistas que aplicamos para el estudio de caso.

Streefland (1984, 1985) lleva a cabo una investigación en la que enfatiza que la enseñanza temprana de la razón y la proporción debe partir de niveles cualitativos en los que haya un reconocimiento de ellas; además, hace uso de recursos didácticos (figuras, dibujos, expresiones) que favorecen el desarrollo de patrones perceptuales, en apoyo a los correspondientes procesos de cuantificación. Streefland comenta que el pensamiento cualitativo evoluciona cuando hay un avance en el pensamiento y el niño puede llegar a incorporar más elementos para un análisis que le permita considerar distintos factores conjuntamente.

Otros estudios sobre el pensamiento proporcional fueron realizados por el equipo de investigación de Hart (1988), quien en un estudio con un grupo de alumnos observó que la mayoría consideraba difícil resolver problemas matemáticos donde se involucra la proporción; sin embargo, hubo evidencia de que los estudiantes de menor edad y los alumnos de la secundaria con menos éxito tienen un sentido de lo que se ve correcto o lo que parece ser una distorsión. A esto Hart lo designó como una regulación desde el sentido común. Reconocemos que ese aspecto está íntimamente involucrado en el pensamiento cualitativo porque atañe a lo perceptual. Asimismo, Hart señala que lo más avanzado del pensamiento proporcional se da en el sujeto una vez que ha construido determinados conceptos.

Hacemos referencia al pensamiento proporcional cuantitativo del niño cuando puede hacer uso de las razones y proporciones y maneja indistintamente razones internas y externas para enfrentar problemas matemáticos. Al respecto, Freudenthal (1983) define a las primeras como relaciones establecidas entre distintos valores de la misma magnitud (distancia con distancia, tiempo con tiempo, precio con precio), y a las segundas como vínculos entre valores de diferentes magnitudes (por ejemplo, tiempo con distancia o litros de leche con precio).

En el terreno didáctico nos apoyamos fundamentalmente en Streefland (1993), quien habla sobre la educación realista de las matemáticas. Ésta ha llegado a constituirse en una teoría, según los seguidores de Freudenthal y Streefland, debido a que la realidad es, en primera instancia, una fuente de información; además, constituye el terreno donde se aplican modelos de enseñanza, esquemas, notaciones y producciones escolares que derivan en la práctica social. Por tanto, favorece el desarrollo de la investigación y la práctica de la enseñanza en la educación matemática. De igual modo, en esta teoría realista es fundamental entrelazar los tramos de aprendizaje

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