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LA CRISIS DEL RACIONALISMO

I-LA RAZON NO PUDO CON EPIMÉNIDES

A últimos del siglo XIX y primeros del XX un aire renovador y de crisis invadió el mundo de la matemática y la lógica. A partir de ese momento empezaron a pensar sobre sí mismas, sobre su propia validez. ¿Eran la matemática y la lógica equiparables?, ¿su método de investigación serviría para autojustificarse?.

La polémica tuvo un momento álgido cuando la aparición de las matemáticas no euclidianas. La validez de los Elementos de EUCLIDES durante más de 2000 años llevó a la creencia de que sus postulados y teoremas eran los únicos que se correspondían con la realidad. Aunque siempre hubo un punto de inquietud en la aceptación del quinto postulado, el de las paralelas: es aquél que dice que por un punto exterior a una recta sólo pasaría otra recta que no tendría ningún punto común con la primera, por mucho que se prolongara.

Los esfuerzos de LOBASCHECK, SACHERI y otros, tras la no aceptación de este postulado, llevaron al descubrimiento de otras matemáticas también "reales", la elíptica y la hiperbólica.

A partir de entonces se quiso confirmar la validez del razonamiento matemático, comprender en qué consistía lo que venía llamándose "demostración". Fue un fenómeno crucial en la historia del Pensamiento. Se trataba de buscar límites, si los tenía, al Racionalismo. Hasta entonces, en amplios sectores del mundo ilustrado occidental, la capacidad de la "Razón" era el único camino en la comprensión de la Verdad, el único capaz de aprehenderla. El impecable método lógico que estableció ARISTÓTELES en la Filosofía y EUCLIDES en la Geometría parecían no tener puntos oscuros, posibilidad de error. Eran métodos coherentes[1] consigo mismos. Sin embargo, ya en la Grecia clásica, se hizo notar que estos métodos no cubrían todas las posibilidades. Seguían sin explicación las famosas paradojas de ZENÓN y de EPIMÉNIDES.

La primera, expuesta por ZENÓN, la de la carrera entre Aquiles y la Tortuga (la pequeña ventaja en la salida de ésta nunca sería vencida por el veloz Aquiles) sería superada por la matemática moderna. Pero la última ha persistido incólume. Decía Epiménides, cretense, la siguiente afirmación:

"Todos los cretenses son mentirosos".

Surge entonces la pregunta: ¿esta proposición es verdadera o falsa?. Pruébese a intentar contestarla y se verá que es imposible. No es ni verdadera ni falsa. Si fuera verdadera indicaría que Epiménides era un mentiroso, pues era cretense, por lo que había dicho no era cierto. Si se supone que es falsa, entonces los cretenses no son mentirosos, con lo que Epiménides tampoco, y no hubiera podido afirmar la famosa frase. Así se llega a la conclusión de que ni es verdadera ni falsa.

El matemático HILBERT propuso a la comunidad científica un problema que era un verdadero reto. Para el que no esté muy al tanto de estas disciplinas podría parecerle abstruso y con poco interés, sólo una divagación de fanáticos matemáticos, pero buscaba la solución de un verdadero dilema al que había llegado el pensamiento racionalista. De la solución del mismo dependían los cimientos de toda la ciencia moderna: demostrar que cualquier sistema "formal" fuera, en el campo para el que estaba referido, no sólo coherente sino también completo. En matemáticas, se refería más concretamente a la consecución de una teoría de los números que cumpliera estas condiciones, aunque implícitamente se refería a cualquier sistema formal.

Pero, para entendernos, fijemos algunos conceptos. Sistema formal es un conjunto de reglas de elaboración de proposiciones a partir de unas primeras aceptadas como axiomas (verdad evidente). Toda proposición obtenida según las reglas es un teorema. Si este teorema es verdadero, en un isomorfismo-equivalencia con el mundo real, se dice que es coherente. Ésta es una coherencia externa. Existe también una coherencia interna, cuando dos o más proposiciones no son incompatibles entre sí.

La completitud de un sistema formal sería la propiedad de que cualquier proposición verdadera fuera deducible por el sistema, es decir, fuera un teorema.

El poder crear un sistema que fuera coherente y completo era una tarea terrible. Las paradojas matemáticas se multiplicaban; cada intento de superar algunas de ellas, creaba otras. Fue famosa la paradoja de los conjuntos de Russell. Este observó que la mayoría de los conjuntos[2] no se contienen a sí mismos; aunque no siempre ocurre así[3].

Bertrand Russell

Ante el cúmulo de paradojas, RUSSELL Y WHITEHEAD aceptaron el desafío de HILBERT e intentaron crear un sistema formal que eliminara las autoreferencias en la Teoría de los números[4]. Su obra fue ingente, mundialmente apreciada; fue publicada a primeros de siglo con el nombre de Principia Mathematica: sistema formal perfectamente estructurado que eliminaba los bucles extraños de la autoinclusión y autoreferencia (nada de lo definido debería entrar en la definición) simplemente negando su inclusión en el mismo.

Parecía una obra definitiva que eliminaba losvacíos de los números. Monumento a lainteligencia que se vendría abajo con estrépito en 1931, cuando un matemático austriaco, KURT GÖDEL, publicó su famoso TEOREMA. No vamos a tratar de la demostración del mismo, compleja y de difícil intelección (quien sienta curiosidad por estostemas que acuda al muy extenso y apasionante libro de R. HOFSTADTER, "Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle" de Tiskets Edit., 1982). De forma resumida establece que

"Toda formulación axiomática de la Teoría de los Números incluye proposiciones indecidibles"

Lo que quiere decir, en lenguaje más claro, es que hay proposiciones dentro del sistema de las que no se puede afirmar, valiéndose de las reglas del sistema, si son verdaderas o falsas . O, lo que es lo mismo, que hay proposiciones verdaderas que no son demostrables.

Pero es que,además, aunque Gödel se refería ante todo al sistema de los "Principia Mathematica", era aplicable a cualquier otro sistema cnocido o por inventar. Venía a decir, y de ahí su gran trascendencia filosófica, que la Realdad o la Verdad se extiende por un campo que la Racionalidad, el pensamiento científico (tal como hasta entonces

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