APORTACIONES AL CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS DE LEONHARD EULER:

Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes

Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

El número e

“E” es el único número real para el valor a para el cual se cumple que el valor de derivada de la función f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo).

Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base e.

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

Aproximaciones de Euler

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

Características de Euler

En matemática, y en particular en topología algebraica (rama de la matemática en la que se usan las herramientas del Álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos), la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para ampliar una clase de espacios topológicos (estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, y continuidad). Es denotada generalmente por (la letra griega Chi.

La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones (poliedro) se puede calcular usando la fórmula siguiente:

Donde C, A y V son los números de caras, de aristas y de vértices respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos

Por ejemplo, para un cubo tenemos 6 - 12 + 8 = 2 y para un tetraedro tenemos 4 - 6 + 4 = 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler.

Otras aportaciones importantes

Encontró la fórmula de sumación hoy conocida como de Euler-McLaurin. Demostró el último teorema de Fermat para n = 3, donde introdujo cálculo con números algebraicos. Se puede afirmar que el análisis matemático comienza con Euler. En 1748, publica Introductio in Analysis Infinitorum haciendo precisas ideas de Johann Bernoulli more precise para definir una función; este trabajo se fundamenta en las funciones elementales en vez de curvas geométricas, como era común antes. También aparece por primera vez la famosa fórmula e^ix = cos x + i sin x.

En 1751, publicó su teoría de logaritmos de números complejos. También investigó funciones analíticas de una variable compleja. En 1777, descubrió las ecuaciones hoy conocidas como de Cauchy-Riemann, que también fueron descubiertas por d'Alembert en 1752.

Euler hizo contribuciones fundamentales en diferencias finitas, cálculo de variaciones, estudió las funciones (β) y (y). También en geometría diferencial, investigando la teoría de superficies y su curvatura. Muchos de sus resultados fueron redescubiertos por Gauss. Introdujo en topología la característica de Euler de un poliedro. Publicó sobre mecánica donde introdujo los métodos analíticos.

Sus obras

Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más conocidas o importantes.

* Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736)

* Tentamen novae theoriae musicae (1739)

* Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)

* Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).

* Introductio in Analysis Infinitorum (1748)

* Institutiones Calculi Differentialis (1765)

* Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)

* Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)

* Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)

* Lettres à une Princesse d'Allemagne (Cartas a una Princesa Alemana) (1768–1772).

En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó la publicación de una colección definitiva de los trabajos de Euler titulada Opera Omnia.

Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.

También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.

Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.

La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y nietos.

Aunque perdió parcialmente la visión antes de cumplir 30 años y se quedó casi ciego al final de su vida. Regresó a San Petersburgo en 1766, donde murió en 1783.

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