Calculo Deiferecial

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se derivan normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

Quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

Pasando algunos términos al lado derecho,

Extrayendo el factor común ,

Y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

Dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

Donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

Y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Ejemplo 4:

Hallar , de la función implícita:

Solución:

Primero,

Segundo,

Ahora el cociente,

Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el

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