La Legion Exranjera

INTRODUCCIÓN. COMPOSICION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Considera la función . Observa que, en realidad, la función anterior está

formada por otras dos funciones: el logaritmo y la función .

2

h x x ( ) ln( 1) = +

2

g x x ( ) 1 = +

Cómo construimos la función h(x) a partir de las otras dos?. Observa

f ( )t L n t =

2

S tomo 1 i t x = +

2

obtengo ( 1) ( ) Ln x h x + =

Por tanto, para obtener la función h(x) hemos sustituido la variable independiente t por la

función g(x). Como ya has visto en Matemáticas I esta operación entre funciones se

denomina “composición” y se denota por h(x)=f g(x)=f(g(x)). Y h(x) es la función g

compuesta con f .

o

Es decir

x g(x)

t f(t)

h(x)3

™La primera observación importante es que, para que dicha operación pueda realizarse,

es necesario que las funciones “peguen bien”. Es decir, que el conjunto Imagen de la

primera función esté incluido en el Dominio de la segunda. Por ejemplo, si tomamos las

funciones f(t)=Lnt y g(x)= la composición es imposible pues, como sabes, el

dominio del logaritmo no admite valores negativos.

™Otro aspecto a tener en cuenta es que esta operación no es conmutativa. Para verlo,

toma las funciones anteriores f(t)=lnt y . Calculamos la función “ f compuesta

con g” h(t)=g(f(t))=g f(t). Tenemos

2

−x

2

g x x ( ) 1 = +

o

t f(t)

x g(x)

h(t)

Luego h(t)=g(f(t)) = que obviamente no coincide con la función compuesta de

la página anterior.

2

( ) 1 Lnt +4

Las funciones compuestas aparecen de forma natural en Economía. Por ejemplo,

supongamos que la función de producción de una empresa es . Además, la

cantidad de trabajo contratado depende del salario de los trabajadores (w) según la

función . Por tanto, si queremos saber la relación que existe entre la

cantidad producida y el salario tendremos la función compuesta

1/ 2

f ( ) L L =

2

1

g w L ( )

w

= =

1/ 2

2

1 1

h w f g w f g w ( ) ( ) ( ( ))

w w

⎛ ⎞

= = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

o

Otro ejemplo interesante es el estudio de la demanda de un determinado bien a lo

largo del tiempo. Supongamos que la cantidad demandada de un bien (X) depende de

su precio p según la función .

Supongamos además que el precio evoluciona con el tiempo según la fórmula

¿Cuál será la cantidad demandada del bien dentro de 3 años?.

Construimos la función compuesta que nos proporciona la demanda del bien en

función del tiempo y por tanto X(3)= 1 unidad. 2

10 10

( ( ))

( ) 1

X p t

p t t

= =

+

2

pt t ( ) 1 = +

10

X p( )

p

=5

Ejercicio. Calcula las funciones h f (x) y f h(z) donde .

a)

o o

1 z+1

( ) , ( )=

1 1-z

X

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f:

...