Método de la gran “M”

Método de la gran “M”

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

-VARIABLES

A = Días a trabajar en la Mina A.  B = Días a trabajar en la Mina B.

-ECUACIÓN

Z = 2,000 A + 2,000 B

-RESTRICCIONES

Restricción 1: 1 A + 2 B ≥ 80 (alta calidad)

Restricción 2: 3 A + 2 B ≥ 160 (media calidad)

Restricción 3: 5 A + 2 B≥ 200 (baja calidad)

PASO 1.- CONVERTIR A IGUALDADES LAS ECUACIONES DE RESTRICCION.

A + 2B – H1 + 0H2 + 0H3 = 80.

3A + 2B + 0H1 – H2 + 0H3 = 160

5A + 2B + 0H1 + 0H2 – H3 =200

PASO 1.1.-  AGREGAR VARIABLES ARTIFICIALES A LAS ECUACIONES DONDE NO SE GENERARON VARIABLES DE HOLGURA O FUERON NEGATIVAS.

A + 2B – H1 + 0H2 + 0H3 + A1 = 80.

3A + 2B + 0H1 – H2 + 0H3 + A2 = 160

5A + 2B + 0H1 + 0H2 – H3 + A3 =200

PASO 1.2.- DESPEJAR LAS VARIABLES ARTIFICIALES.

A1 = 80 – A – 2B + H1

A2 = 160 – 3A – 2B + H2

A3 = 200 – 5A – 2B + H3

PASO 2.-  AGREGAR VARIABLES DE HOLGURA Y ARTIFICIALES A LA ECUACION DE Z.

Z = 2,000 A + 2,000 B + 0H1 + 0H2 + 0H3 + MA1 + MA2 + MA3

PASO 2.1.- SUSTITUIR LAS VARIABLES ARTIFICIALES (1.2) A LA ECUACION DE Z

Z = 2,000A + 2,000B + M(80 – A – 2B + H1) + M(160 – 3A – 2B + H2) + M(200 – 5A – 2B + H3)

Z = 2,000A + 2,000B + 80M – MA – 2MB + MH1 + 160M – 3MA – 2MB + MH2 + 200M – 5MA – 2MB + MH3

Z = A(2,000 - 9M) + B(2,000 + 6M) + MH1 + MH2 + MH3 + 440M

PASO 3.-  DESPEJAR LA ECUACION DE Z, COLOCANDO EL TERMINO INDEPENDIENTE DEL LADO DERECHO DE LA ECUACION.

Z - A(2,000 - 9M) - B(2,000 + 6M) - MH1 - MH2 - MH3 = 440M

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