Metodo De La Gran M

Aquí detallaremos el Método de la Gran M.

Definimos la letra M como un número muy grande pero finito para usarlo como coeficiente de las variables artificiales en la función objetivo y con sentido contrario a la misma para penalizar de manera muy grande la existencia de las mismas en la solución. Si el objetivo es minimizar las variables artificiales entraran con M positivo y si es maximizar las variables artificiales se usaran como -M.

Ejemplo:

Min Z = 2X1 + X2 + 3X3

Sujeto a:

3X1 + X2 + 2X3 <= 10

X1 - 2X2 + 3X3 >= 6

2X1 + 3X2 - X3 <= 9

X1 + X2 +2X3 = 7

C.N.N

1. Convertir al Modelo Estándar:

Cada restricción debe ser convertida de inecuación a una igualdad, agregando variables como se requiera. Con las restricciones de tipo <=, es supremamente fácil. Simplemente se agrega una en cada restricción con coeficiente 1 en la misma restricción y con coeficiente cero en la función objetivo. Por ejemplo:

3X1 + X2 + 2X3 <= 10 queda:

3X1 + X2 + 2X3 + S1 = 10

Se puede leer así: el uso de la primera restricción no puede superar la disponibilidad de 10 unidades, lo que equivale a decir que lo usado mas lo que sobre (s1) es igual a 10. Para las restricciones de tipo mayor o igual, la lógica es la misma, de esta manera decir:

X1 - 2X2 + 3X3 >= 6

Se puede leer como: el uso de la restricción 2 debe ser como mínimo 6 unidades. Eso significa que el uso podría ser 6.1 o tal vez 7 u 8... etc. Podríamos escribirlo también como 6+0.1 o 6+1 o 6+2 ... o en términos generales:

X1 - 2X2 + 3X3 = 6 + S2 que es equivalente a decir: lo usado en la restricción2es igual al mínimo requerido que es 6 mas el adicional que esta en S2. Esto lo podemos reescribir como:

X1 - 2X2 + 3X3 - S2 = 6

Sin embargo para el método simplex, cuando aparece esta restricción tipo >= es necesario adicionar una variable comodín, llamada Variable Artificial, sin ningún significado físico, sólo como artificio matemático. Lo sumamos al lado izquierdo de la restricción como se muestra a continuación:

X1 - 2X2 + 3X3 - S2 + A1 = 6

Al usar una variable artificial debemos penalizar la función objetivo allí la vamos a incluir con un coeficiente muy grande, llamado M, al estar minimizando la sumamos + .MA1.

La tercera restricción es de tipo <=, por lo que no tenemos ningún problema con ella:

2X1 + 3X2 - X3 <= 9 queda

2X1 + 3X2 - X3 + S3 = 9

La cuarta restricción es de tipo =. Para este tipo de restricción simplemente adicionamos una variable artificial al lado izquierdo:

X1 + X2 +2X3 = 7 queda:

X1 + X2 +2X3 + A2 = 7

Recordemos: las variables de holgura quedan con coeficiente 0 en la función objetivo y las variables artificiales con coeficiente M. Positiva si es minimizando o negativa si es maximizando.

En resumen el modelo queda de la siguiente manera:

Min Z = 2X1 + X2 + 3X3 + 0S1 + 0S2 + MA1 + 0S3 + MA2

Sujeto a:

3X1 + X2 + 2X3 + S1 = 10

X1 - 2X2 + 3X3 - S2 + A1 = 6

2X1 + 3X2 - X3 + S3 = 9

X1 + X2 + 2X3 + A2 = 7

C.N.N (Condición de No Negatividad)

2. Escribir en formato de Tabla Simplex.

Si lo escribimos como una matriz, indicando los nombres de las variables en negro queda asi:

Fig 1

X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2

Min Z 2 1 3 0 0 M 0 M RHS

R1 3 1 2 1 0 0 0 0 10

R2 1 -2 3 0 -1 1 0 0 6

R3 2 3 -1 0 0 0 1 0 9

R4 1 1 2 0 0 0 0 1 7

Dónde X1, X2, X3 son las variables de decisión, S1, S2 y S3 son las variables de Holgura. R1, R2, R3, R4 son las restricciones y RHS son las disponibilidades o Requerimientos de las restricciones, (RHS= Right Hand Side: "el lado derecho" es decir los valores numéricos).

3. Definir la Variable que entra

Recordemos que tenemos un grupo de variables que llamamos base a las que tenemos en cuenta en cada iteración para dar la solución, las demás

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