Curvas De Nivel

CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Las curvas de nivel son aplicadas en el área de la Ingeniería para mostrar en el plano curvas isotermas, mapas topográficos de regiones montañosas que identifican las curvas de altitud de contorno de una superficie o líneas equipotenciales, por mencionar algunas. En las curvas Isotermas la líneas continuas enlazan la misma temperatura en la zona. En los mapas topográficos, si se desplazara una persona a lo largo de una curva de nivel se mantendría a la misma altitud.

Ejemplo 1. Trazar algunas curvas de nivel de la función

para c = 4, c = 3, c = 0 y c = –5.

Solución

a) Para c = 4; (1)

la expresión (1) representa un punto cuando f(x,y) = c = 4

b) Para c = 3; (2)

la expresión (2) representa una circunferencia de radio r = .

c) Para c = 0; (3)

la expresión (3) representa una circunferencia de radio r = 2

d) Para c = –5; (4)

la expresión (4) representa una circunferencia de radio r = 3

La superficie es un paraboloide abierto hacia abajo, su extremo máximo está en z = 4 y las curvas de nivel de la función son círculos. Tal como se ilustra a continuación en las figuras 1, 2 y 3.

Fig 3 Mapa de contorno con los valores dados de c

Ejemplo 2. Trazar algunas curvas de nivel de la función , para , c = –1, c = 1 y c = 4

Solución La función dada representa la superficie de un paraboloide elíptico abierto hacia arriba. Si (x, y) = (0, 0) entonces z = –5. Las curvas de nivel son elipses.

para (5)

para (6)

para (7)

Solución: La tercera de las expresiones del conjunto de ecuaciones (5) representa la ecuación de un elipse con y . Obtendremos las trazas para valores de c = –4, c = –1, c = 1 y c = 4,

________________________________________Ejemplo 3. Describir el comportamiento de mediante el bosquejo de algunas curvas de nivel.

Solución Es conveniente asignarle a c valores en todo el conjunto de los números reales, es decir c > 0, c < 0 y c = 0.

• La curva de nivel cuando c tiene el valor de 0, tiene la ecuación:

esta ecuación representa las rectas x = y; x = – y.

• Cuando c > 0, la curva de nivel para c = 1, tiene la ecuación: representa una hipérbola cuyo eje es el eje x.

• Cuando c < 0, la curva de nivel para c = –1, tiene la ecuación: representa una hipérbola

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