Dimension Vectorial

Dimensión vectorial

En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:

• Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.

• Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.

• Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).

Lema de Zorn y existencia de bases

Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Por ser así, tal cardinalidad será llamada como la dimensión del espacio vectorial.

Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn:

• Todo sistema generador de un espacio vectorial contiene una base vectorial (de Hamel).

• Todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial, puede ser extendido a una base.

Observaciones adicionales

1. Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales.

2. Dado un vector v y una base B de un espacio vectorial V, existe una única manera de escribir a v como combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector en una base es única.

3. De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo espacio vectorial. Por ejemplo, si , una base muy sencilla de V es:

la cual es conocida como base canónica de . Otras bases de son:

En general, toda base de estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a . Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.

1. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.

2. No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X:

Espacios de dimensión infinita

En el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, como los que aparecen en análisis funcional existen algunas distinciones pertinentes que es importante señalar.

Bases de Hamel y de Hilbert

En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de combinación lineal finita. De un lado si consideramos únicamente combinaciones lineales finitas llegamos

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