Integración

Integración

Para otros usos de este término, véase Integración (desambiguación).

«Integral» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Integral (desambiguación).

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Índice [ocultar]

1 Principales objetivos del cálculo integral

2 Teoría

3 Historia

3.1 Integración antes del cálculo

3.2 Newton y Leibniz

3.3 Formalización de las integrales

3.4 Notación

4 Terminología y notación

5 Conceptos y aplicaciones

6 Definiciones formales

6.1 Integral de Riemann

6.2 Integral de Darboux

6.3 Integral de Lebesgue

6.4 Otras integrales

7 Propiedades de la integración

7.1 Linealidad

7.2 Desigualdades con integrales

7.3 Convenciones

8 Teorema fundamental del cálculo

8.1 Enunciado de los teoremas

9 Extensiones

9.1 Integrales impropias

9.2 Integración múltiple

9.3 Integrales de línea

9.4 Integrales de superficie

9.5 Integrales de formas diferenciales

10 Métodos y aplicaciones

10.1 Cálculo de integrales

10.2 Algoritmos simbólicos

10.3 Cuadratura numérica

11 Algunas aplicaciones

11.1 Valor medio de una función

11.2 Aplicaciones en física

12 Véase también

13 Referencias y notas

14 Bibliografía

15 Enlaces externos

15.1 Vídeos

15.2 Libros online

Principales objetivos del cálculo integral[editar]

Sus principales objetivos a estudiar son:

Área de una región plana

Cambio de variable

Integrales indefinidas

Integrales definidas

Integrales impropias

Integral de línea

Integrales múltiples (dobles o triples)

Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

Métodos de integración

Teorema fundamental del cálculo

Volumen de un sólido de revolución

Teoría[editar]

\scriptstyle\ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x =a y x =b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. \int_a^b f(x)\,dx

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen

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