Integrales
Enviado por cesarvilchiss • 26 de Marzo de 2014 • 923 Palabras (4 Páginas) • 213 Visitas
1.
Z
x dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Soluci´on
El integrando es una funci´on racional, donde todos los factores son irreducibles y distintos. Luego la
descomposici´on en fracciones parciales es:
x dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2) ()
x = Ax2 + 5Ax + 6A + Bx2 + 4Bx + 3B + Cx2 + 3Cx + 2C
x = (A + B + C)x2 + (5A + 4B + 3C)x + (6A + 3B + 2C)
Luego tenemos que A + B + C = 0, 5A + 4B + 3C = 1 y 6A + 3B + 2C = 0
Resolviendo dicho sistema de ecuaciones encontramos que: A = −
1
2
, B = 2 y C = −
3
2
Observaci´on: Los valores de A, B y C los podriamos haber calculado asigadole valores a x en (). Por ejemplo
cuando x = −1 tenemos que A = −
1
2
, cuando x = −2 tenemos que B = 2, y por ´ultimo cuando x = −3 tenemos
que C = −
3
2
. Observ´e que para elegir los valores de x se deben priorizar aquellos que anulan la mayor cantidad
de factores de la expresi´on ().
Ahora reescribimos la integral que queremos calcular:
Z
x dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= −
1
2
Z
dx
x + 1
+ 2
Z
dx
x + 2
+ −
3
2
Z
dx
x + 3
= −
1
2
ln(x + 1) + 2 ln(x + 2) −
3
2
ln(x + 3) + c
18
2.
Z
3 + 10x − x2
(x2 − 1)2
dx
Soluci´on
Comencemos factorizando el denominador:
Z
3 + 10x − x2
(x2 − 1)2
dx =
Z
3 + 10x − x2
(x + 1)2(x − 1)2
dx
De esta manera tenemos que el integrando es una funci´on racional, donde todos los factores del denom-
inador son irreducibles y lineales repetidos. Luego la descomposici´on en fracciones parciales es:
3 + 10x − x2
(x + 1)2(x − 1)2 =
A
x + 1
+
B
(x + 1)2 +
C
(x − 1)
+
D
(x − 1)2
3 + 10x − x2 = A(x + 1)(x − 1)2 + B(x − 1)2 + C(x − 1)(x + 1)2 + D(x + 1)2
Vemos que cuando cuando x = −1 tenemos que B = −2, cuando x = 1 tenemos que D = 3, cuando
x = 0 tenemos que A + B + C + D = 0 es decir A − C = 2, por ´ultimo cuando x = 2 tenemos que
3A + B + 9C + 9D = 19 es decir 3A + 9C = 19.
Resolviendo el sistema
A − C = 2
3A + 9C = 19
, obtenemos que A = 1 y C = −1.
Ahora reescribimos la integral que queremos calcular:
Z
3 + 10x − x2
(x + 1)2(x − 1)2
dx =
Z
1
x + 1
dx +
Z
−2
(x + 1)2
dx +
Z
−1
(x − 1)
dx +
Z
3
(x − 1)2
dx
= ln(x + 1) +
2
x + 1 − ln(x − 1) −
3
x − 1
+ c
3.
Z
x
...