Integrales

Para la función f, cuya grafica se muestra, determine:

¿Existe f(1)? Si existe, ¿Cuál es la imagen?

Al verificar la gráfica de la función, para el punto x = 1, = 1 la imagen, si existe, es 1.

Im f(1) = 1 para la Figura uno

Im f(2) = 2 para la Figura dos

Calcular

Analizamos la función en la grafica cuando X tiende a 1

Lim┬(x→1+) f(x) = 1 Grafica 1

Lim┬(x→1-) f(x) = 2 Grafica 2

Lim┬(x→1+)≠ Lim┬(x→1-) ∄

Si nos aproximarnos a f(1), desde los Límites laterales, apuntamos desde la izquierda el Límite para la función es 2, al aproximarnos desde la derecha, el Límite es 1. En donde vemos que hay una diferencia, por lo que en este caso No Existe.

¿La función f es continua en x = 1? Justifique.

La función f no es continua en x = 1. En la Gráfica muestra una variación en dicho punto y si bien la función está definida en x = 1, el Límite No Existe, de acuerdo a lo que se observa en la diferencia al seguir los límites laterales.

¿Qué valores debe asignarse a f(2) para que la función sea continua en ese punto?

Los valores deben asignarse a f(2) para que sea continua es que sea ≤ tenemos que: ≤X<2<X ≤3 Antes no continúa; ≤X≤2≤X ≤3 hacemos que la función sea continua desde 1 a 3.

Calcular

Analizamos la grafica por la derecha tenemos que:

Lim┬(x→0+) f(x)=0

Para este caso cuando el 〖Lim〗┬(x→0+)desde la derecha es = 0

Calcular

Lim┬(x→0-) f(x)=0,5

Para este caso cuando el 〖Lim〗┬(x→0-)desde la

Izquierda es = 0,5

Calcule la derivada de la función y simplifique su respuesta.

f(x)"=" ⁡〖(("2" √("x" ))/("2" √("x+1" )))^2 〗

Formula de un cociente d/"dX" ("U" /V)=("dU" /"dX" - "U" ("d(" V")" )/"dX" )/V^2

〖f(x)=〗⁡〖(((2√x ))/(2√(x+1)))^2= ((2√x )^2)/((2√(x+) 〖1)〗^2 )〗 = ((2 x^(1/2) )^2)/((2√(x+) 〖1)〗^2 ) = ((2 x^(1/2) )^2)/((2X x^(1/2) 〖+ 1)〗^2 )= U/V

d/("d" x) ("U" /V)"= (2" x〖"+ 1)" 〗^"2" "* " (d"(2 " x^"1/2" ")" ^"2" )/("d" x) "- (2 " x^"1/2" ")" ^"2" " " (d"(2 " x^"1/2" 〖"+ 1)" 〗^"2" )/("d" x) "-" "(2 " x^"1/2" ")" ^"2" (d"(2 " x^"1/2" ")" ^"2" )/("d" x)

( )/("((2 " x^"1/2" 〖"+ 1)" 〗^"2" ")" ^"2" )

"= (2" x〖"+ 1)" 〗^"2" "* " 2"(2 " x^"1/2" ") - 2 " x^"1/2" " *" 1/"2" "-" "(2 " x^"1/2" ")" ^"2" * 2"(2 " x^"1/2" "-1) - (2 " x^"1/2" ")* " 1/"2"

( )/("(2 " x^"1/2" 〖"+ 1)" 〗^"4" )

"= " 4^"1/2" " * (2 " x^"1/2" "-1) - 4 " x" *" 2"(2 " x^"1/2" "-1) - (2 " x^"1/2 " "+1)"

( )/(" " x^"1/2" )

( )/("(2 " x^"1/2" 〖"+ 1)" 〗^"4" )

= 〖 4〗^"1/2" " ( (2 " x^"1/2" ")" ^"2" " + 2 (2 " x^"1/2" ") + 1) - 4 " 〖(x〗^"1/2 " "+1)"

( )/(" " x^"1/2" " (2 " x^"1/2" 〖"+ 1)" 〗^"4" )

" =" 〖 4〗^"1/2" " ( 4 " 〖x+4x〗^"1/2" "+1) - 16 " x^"3/2" "- 8" x" "

( )/(" " x^"1/2" " (2 " x^"1/2" 〖"+ 1)" 〗^"4" )

...