Integrales

COMPLEMENTOS CALCULO

GUIA Integrales múltiples.

I) CALCULAR:

a)

b)

II) CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES ITERADAS:

III) En cada ejercicio:

a) Determine la región sobre la cual la integración se lleva a cabo y dibuje la gráfica de la región.

b) Escriba una integral iterada ( o suma de integrales iteradas) invirtiendo el orden de integración.

IV) CALCULAR, EN CADA CASO, EL VALOR DE

1.- F ( x, y ) = x + y ; R está limitada por las gráficas de y = x2 , y2 = x

Resp. 3 / 10

2.- F ( x, y ) = 2 - x ; R está limitada por las gráficas de x2 + y2 = 4

Resp. 8

3.- F ( x, y ) = 1 ; R está limitada por las gráficas de x y = 6, x+y=5

Resp. 5/2 + 6 ln (2/3)

4.- F ( x, y ) = x2 + y2 ; R está limitada por la gráfica x2 + y2 = 25

Resp. ( 625  ) /2

5.- F ( x, y ) = 4 - x2 - y2 ; R está limitada por las gráficas de y = , y = 0

Resp. ( 7  ) /4

V.- DETERMINE:

1.- Calcular la integral triple de F(x,y,z) = z extendida a la región R del primer octante, limitada por los planos y = 0 ; z = 0 ; x + y = 2 ; 2 y + x = 6 y el cilindro

y2 + z2 = 4

Resp. 26/3.

2.- Hallar el volumen limitado por el paraboloide z = 2 x2 + y2 y el cilindro z = 4 – y2

Resp. 4  unidades de volumen.

3.- Calcular, usando coordenadas esféricas, el volumen de la región ubicada bajo la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y sobre el cono z2 sen2  = ( x2 + y2 ) cos2  , donde  es una constante tal que 0 <  <  .

Resp. ( 2  a3 ) /3 . ( 1 – cos  )

4.- Calcular, usando coordenadas cilíndricas, el volumen de la región sobre el plano XY, encerrado por el paraboloide z = x2 + y2 y el cilindro x2 + y2 = a2 .

Resp. /2 . a4

5.- Calcular, usando coordenadas esféricas, el volumen del sólido sobre el cono

z2 = x2 + y2 e interior a la esfera x2 + y2 + z2 = 2 a z.

Resp.  a3

6.- Encuentre el volumen de una esfera de radio r, usando una integral triple, mediante:

a) coordenadas cilíndricas

b) coordenadas esféricas.

7.- El centro de una esfera de radio r está sobre la superficie de un cilindro circular de radio ½ r. Use coordenadas cilíndricas para calcular el volumen de la región interior a ambas superficies.

Resp. 2/9 ( 3 r3  - 4 r3 )

8.- Usando coordenadas esféricas, determinar el volumen de la región limitada superiormente por la esfera de ecuación  = a e inferiormente por el cono de ecuación  = b.

Resp. ( 2  a3 )/3.( 1 – cos b )

9.- Determinar el volumen de la región limitada superiormente por la gráfica de

x2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente por la gráfica de x2 + y2 = 6 z . Usar coordenadas esféricas.

Resp. 76 /3

10.- Evaluar utilizando el cambio de variables

x = ½ ( u + v ) ; y = ½ ( u – v ) y donde la región R es la que se muestra en la figura.

Y

(0,1)

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