Operaciones Con Matrices

OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2. (At)t = A.

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A  (–A)  0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A  (–B)

Producto de una matriz por un número

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k•aij.

Ejemplo

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k•A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)

2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)

3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)

4. 1•A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C  A = B.

2. k A = k B  A = B si k es distinto de 0.

3. k A = h A  h = k si A es distinto de 0.

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m n y B dimensión n p, la matriz P será de orden m p. Es decir:

Propiedades del producto de matrices

1. A•(B•C) = (A•B)•C

2. El producto de matrices en general no es conmutativo.

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A•In = In•A = A.

4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A•B = B•A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .

5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A•(B + C) = A•B + A•C

Consecuencias de las propiedades

1. Si A•B= 0 no implica que A=0 ó B=0.

2. Si A•B=A•C no implica que B = C.

3. En general (A+B)2A2 + B2 +2AB,ya que A•B  B•A.

4. En general (A+B)•(A–B) A2–B2, ya que A•B  B•A.

Matrices inversibles

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

Porpiedades de la inversión de matrices

1. La matriz inversa, si existe, es única

2. A-1A=A•A-1=I

3. (A•B) -1=B-1A-1

4. (A-1) -1=A

5. (kA) -1=(1/k•A-1

6. (At) –1=(A-1) t

Observación

Podemos encontrar matrices que cumplen A•B

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