Sistemas De Numeracion

Sistemas de numeración y sus propiedades

Por el Ing. Gabriel Dubatti

Introducción

Para comprender los algoritmos antes hay que tener una clara base de distintos conceptos de los sistemas de numeración. Esto nos permitirá adaptar los algoritmos a nuestras necesidades de cálculo y no desperdiciar recursos ni precisión.

Sistemas de numeración

Hay distintas formas de descomponer un número en sus partes constituyentes. Comenzaremos con el sistema decimal que es el que todos tenemos más presente.

Por ejemplo, el número "-148.53" puede ser descompuesto en signo y suma de centenas, decenas, unidades, décimas y centésimas, de las siguientes formas:

• -1 * (100 + 40 + 8 + 0.5 + 0.03)

• o en desarrollo en potencias: -1 * (1*102 + 4*101 + 8*100 + 5*10-1 + 3*10-2)

• o en forma telescópica: -1 * ( {(((1*10)+4)*10)+8} + {(5+(3/10))/10} )

Decimos que la base del sistema decimal es 10 dado que es el valor que nos permite, multiplicando o dividiendo los distintos dígitos, componer todos los números representables (como puede verse en los ejemplos anteriores). La menor base utilizables es "2" (o base binaria) que, como se verá en esta serie de artículos, facilita el cálculo de operaciones como la multiplicación, división y radicación.

Los símbolos utilizados están comprendidos entre 0 y base-1 (0 a 9 en base decimal) y pueden ser dígitos, letras o cualquier otra cosa (lo importante es que más allá de la representación, tengan un equivalente numérico comprendido entre 0 y la base menos uno)

La base le da el nombre al sistema de numeración, por ejemplo:

Base Sistema Símbolos

2 Binario 0,1

8 Octal 0,1,2,3,4,5,6,7

10 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

16 Hexadecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (A..F = 10..15)

256 Base 256 0,1,..,255

En general, el desarrollo en potencias de un número de "N" dígitos (o símbolos) enteros y "M" decimales, tiene la forma:

signo * (SN-1*baseN-1 + ... + S1*base1 + S0*base0 + S-1*base-1 + ... + S-M*base-M)

(donde cada símbolo se representa con Si y el signo vale +1 o -1)

Propiedades

Esta ecuación nos permite deducir varias propiedades de los sistemas de numeración que utilizaremos en las conversiones y cálculos.

Propiedad 1: Los números "0" y "1" se escriben siempre como "0" y "1" sin importar la base y la base siempre se representa como "10".

Obviamente, en cualquier base, sumarle a un número 0 o multiplicarlo por 1, no modifica su valor y multiplicar cualquier número por 0 da 0.

En los ensambladores se indica la base en la que está un número colocando un prefijo o un sufijo, según la siguiente tabla:

Base Prefijo Sufijo

2 % Q

10 ! T

16 $ H

Ejemplos:

Base Representación Valor decimal equivalente

2 %0 0

2 %1 1

2 10Q 2

10 !0 0

10 !1 1

10 10T 10

16 $0 0

16 $1 1

16 10H 16

Propiedad 2: El número entero máximo que se puede obtener con N dígitos es: baseN-1.

Esto se deduce fácilmente del desarrollo en potencias, ya que el máximo es el menor número que se puede formar con un dígito extra, menos 1 (o dicho de otra forma, es el total de combinaciones menos el 0).

Ejemplos:

Base Dígitos Máximo en decimal Máximo en su base

2 4 24-1= 16-1= 15 %1111

10 2 102-1= 100-1 !99

16 4 164-1= 65536-1= 65535 $FFFF

Propiedad 3: El "acarreo" máximo al sumar 2 símbolos cualquiera de una base es 1.

NOTA: el "acarreo" (o "carry" en inglés o "me llevo uno" en lenguaje coloquial) es el símbolo que debemos transportar a la columna siguiente al realizar una operación de suma.

Esto es debido a que cada símbolo esta comprendido entre 0 y base-1 y por lo tanto la suma de 2 de ellos, da como máximo: (base-1)+(base-1) = 1 * base + (base-2).

Esto también incluye la posibilidad de sumar 2 símbolos y un acarreo, ya que al ser el acarreo máximo igual a 1, el total será: 1 * base + (base-1).

Dado que el valor del acarreo es 0 o 1, alcanza con un único bit para sumar en binario ("C" en el registro de condiciones). Al trabajar en BCD hay 2 dígitos por byte y por lo tanto hacen falta 2 acarreos (el bit "H" corresponde al dígito de menor peso y el "C" el de mayor peso).

Ejemplos:

Base Símbolo máximo Suma Suma con acarreo Acarreo máximo

2 %1 %1+%1=%10 %1+%1 +%1=%11 1

10 !9 !9+!9=!18 !9+!9 +!1=!19 1

16 $F $F+$F=$1E $F+$F +$1=$1F 1

Propiedad 4: El "acarreo" máximo al sumar 2 números de N1 y N2 dígitos, requiere el mayor de N1 y N2 + 1 dígitos para el resultado.

Esto se deduce de la propiedad anterior ya que sumamos dígito a dígito (comenzando por el de menor potencia) y en cada paso generamos un acarreo que será propagado al dígito siguiente (si la cantidad N1 y N2 es distinta, equivale a tener una cantidad de ceros igual a la diferencia entre N1 y N2 delante del número más corto). Al terminar la operación nos encontraremos con un acarreo final que se acomodará en un dígito extra (con valor 0 o 1).

Propiedad 5: El "acarreo" máximo

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