Teorema De Bayes

Teorema de Bayes

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A.

Antes de enunciar el teorema de Bayes se analizará el concepto de probabilidad total, que se enuncia así: Sea A1,…. A2,…. An, un sistema completo de eventos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinto de cero, y sea B un evento cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai).

Entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando la siguiente fórmula:

P(B) = P(A1) * P(B/A1) + P(A2) * P(B/A2) + …… P(An) * P(B/An)

El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades a posteriori.

El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y se enuncia como sigue:

Sea {A1,…. A2,…. A3,…. Ai,…. An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

P(Ai/B) = P(Ai)P(B/Ai)

P(B)

donde:

P(Ai): Probabilidad a priori

P(B|Ai): Probabilidad condicional

P(B): Probabilidad total

P(Ai|B): Probabilidad a posteriori

Prueba del teorema para N = 3

Si se tiene que un espacio muestral está conformado por:

A

B

C

E

S

A∩B∩C = S

Siendo A, B y C sucesos mutuamente excluyentes; Entonces se tiene que para un evento E cualquiera:

E = (A∩E) ∪ (B∩E) ∪ (C∩E)..……………………….. (1)

Luego si tomamos el suceso A y definimos una operación como P(A/E), el desarrollo de la operación según el teorema de Bayes es como sigue:

P(A/E) = P(A∩E) ..………………………. (2)

P(E)

Pero como P(E) = (A∩E) ∪ (B∩E) ∪ (C∩E), entonces sustituyendo (1) en (2) se obtiene:

P(A/E) = P(A∩E)

(A∩E) + (B∩E) + (C∩E)

Luego para un suceso B definido en otra operación como P(B/E), se obtiene:

P(B/E) = P(B∩E)

(A∩E) + (B∩E) + (C∩E)

Igualmente para un suceso C:

P(C/E) = P(C∩E)

(A∩E) + (B∩E) + (C∩E)

Se concluye que la probabilidad condicional de un evento aleatorio A, B ó C dado E, depende de la distribución de probabilidad condicional del evento E dado A, B ó C.

Problemas de aplicación

1. Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

b) ¿De qué línea de transporte

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