Coordenadas esféricas

Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.

Coordenadas esféricas.

Los dos orígenes ortogonales de las coordenadas esféricas

Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para definir el signo del ángulo θ

Determinación de los puntos mediante ángulos

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.

En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes positivas al hemisferio Este.

Introducir un tercer parámetro r permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) serán:

\left\{ \begin{matrix}

x & = & r \sin \theta \; \cos\varphi \\

y & = & r \sin \theta \; \mbox{sin }\varphi\\

z & = & r \cos \theta

\end{matrix} \right.

\qquad \mbox{con }- \frac {\pi} 2 < \theta \le \frac {\pi} 2,\ \ \mbox{ y } \ \ 0 < \varphi \le 2 \pi

Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las coordenadas esféricas:

\left\{ \begin{matrix} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ne 0 \\

\theta = \mbox{ arccos } \frac z r = \mbox{ arccos } \frac z {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\

\varphi = \mbox{ arcsin } \frac y {r \cos \theta} = 2 \mbox{ arcsin } \frac y {\sqrt{x^2+y^2} + x}

\end{matrix} \right.

Generalizaciones de la esfera[editar]

Esferas en dimensiones superiores[editar]

Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclidiano de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:

x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 1\,

donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclidiano de n dimensiones:

x_1^2 + x_2^2 + x_3 ^2 + \cdots + x_n^2 = 1

Y para una esfera de radio r, y centro (c1, c2, ..., cn):

(x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 + (x_3 - c_3)^2 + \cdots + (x_n - c_n)^2 = r^2

El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula por inducción sobre n. Aquí están los diez primeros valores de Vn(r) y las superficies correspondientes:

Dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Volumen 2r πr2 4πr3

3 π2r4

2 8π2r5

15 π3r6

6 16π3r7

105 π4r8

24 32π4r9

945 π5r10

120

Superficie 2 2πr 4πr2 2π2r3 8π2r4

3 π3r5 16π3r6

15 π4r7

3 32π4r8

105 π5r9

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