Analisis De Sensibilidad

Introducción

La programación lineal muchas veces es uno de los temas preferidos tanto de profesores como de alumnos. La capacidad de introducir la PL utilizando un abordaje gráfico, la facilidad relativa del método de solución, la gran disponibilidad de paquetes de software de PL y la amplia gama de aplicaciones hacen que la PL sea accesible incluso para estudiantes con poco conocimiento de matemática. Además, la PL brinda una excelente oportunidad para presentar la idea del análisis what-if o análisis de hipótesis ya que se han desarrollado herramientas poderosas para el análisis de post optimalidad para el modelo de PL.

La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.

La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones.

1. SIGNIFICADO DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL:

El modelo de programación lineal es estático y por tal motivo puede resultar inoperante con el transcurso del tiempo. Es decir, los cambios que ocurren en cualquier economía dan lugar a que precios, costos, recursos disponibles o requeridos ya no se puedan considerar para otro tiempo. Estos parámetros por lo general, son valores estimados obtenidos sin la deseable precisión debido a las dificultades normales para conseguir registros confiables.

Una solución es óptima sólo en lo que se refiere al modelo específico que se usa para representar el problema real estudiado, pero no puede ser confiable hasta verificar un buen comportamiento al hacer cambios en sus parámetros. El análisis de sensibilidad tiene el propósito de investigar el efecto sobre la solución óptima entregada por el método simplex, con los cambios a los valores originales.

En tal caso, la PL tiene el recurso de revisar la "solución óptima" de un problema para ajustarla a lo que se juzga válido por los responsables de la decisión, o bien en respuesta a cambios (sólo discretos, pues los cambios continuos forman parte de la programación paramétrica, no incluida aquí) del entorno económico; por tal motivo a este análisis también se le llama de posoptimalidad.

En general se pueden presentar cambios que no afecten la optimalidad de la solución ya obtenida, pero también puede ocurrir que se pierda esa condición. Por tal motivo es importante identificar los parámetros sensibles, que al cambiar de valor, se pierde el óptimo. En este caso, es posible calcular el intervalo de valores permitido en que no se pierde el óptimo. También se puede determinar el intervalo de valores para conservar factibilidad (valores no negativos de variables).

2. DEFINICIÓN DE COSTO REDUCIDO PARA LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Definición de costos reducidos

El costo reducido de una variable en el modelo de programación lineal es la cantidad en que debe cambiar el coeficiente de esa variable en la función objetivo para que en la solución óptima dicha variable tenga un valor positivo

También se interpreta como el valor que disminuye la función objetivo cuando esta variable cuyo valor óptimo es cero, es forzada a entrar en una unidad.

Como en el ejemplo de las carteras, la solución óptima tiene valores de las variables positivas, entonces no es necesario realizar ningún cambio en los coeficientes de las variables en la función objetivo y por lo tanto el costo reducido de ambas variables es cero.

Sobre el análisis de sensibilidad se podría concluir que:

a. Al cambiar los coeficientes de la función objetivo, ésta puede cambiar su pendiente. El cambio de la pendiente puede afectar a la solución óptima y al valor óptimo.

b. El cambio en el valor del lado derecho de una restricción equivale gráficamente a un desplazamiento paralelo de la restricción. Esto puede afectar tanto a la solución óptima como al valor óptimo. El efecto dependerá de qué restricción se haya cambiado y en qué medida.

c. Estrechar una restricción de desigualdad significa hacerla más difícil de satisfacer. Para una restricción  esto significa aumentar el lado derecho. Para una restricción  significa disminuirlo.

d. Relajar una restricción de desigualdad, o bien crece el conjunto factible o posiblemente queda inalterado..

e. Estrechar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto factible posiblemente quede inalterado.

f. Una restricción es redundante si al ser retirada no cambia la región factible.

g. Es muy importante considerar que una restricción puede ser redundante para un conjunto dado, no lo sea cuando se cambian algunos datos.

h. En cualquier modelo de programación lineal, para un conjunto fijo de datos, las restricciones inactivas pueden ser retiradas sin afectar la solución óptima. La solución óptima depende por completo de las restricciones activas.

i. Al eliminar las restricciones la región factible queda inalterada o aumenta.

j. La adición de restricciones hace que la región factible quede inalterada o se reduzca.

k. La adición de restricciones a un modelo o bien empeora el valor óptimo o lo deja inalterado. La eliminación de restricciones o bien mejora el valor óptimo o lo deja inalterado.

Ejemplo:

Dado el siguiente problema de programación lineal:

Max 100 X1 + 500 X2

sujeto a:

3 X1 + 2 X2  600

2 X1 + 4 X2  800

X1 , X2  0

Determine:

a. La región factible.

b. La solución óptima y el valor óptimo.

c. Los precios duales de las restricciones.

d. Los costos reducidos de las variables.

Solución:

l. La región factible se determina gráficamente.

m. La solución óptima es el vértice A (X1 = 0; X2 = 200); el valor óptimo es 100 000.

n. Dado que la restricción 3 X1 + 2 X2  600 no es activa, su precio dual es cero.

Dado que la restricción 2 X1 + 4 X2  800 sí es activa, su precio dual es diferente de cero. Entonces, aumentamos el lado derecho de dicha restricción en una unidad, es decir: 2 X1 + 4 X2  801 y calculamos el cambio que se produce en el valor óptimo dada la nueva solución.

La nueva solución óptima es el vértice A’ (X1 = 0; X2 = 200,25) y el nuevo valor óptimo es 100 125. La función objetivo ha mejorado de 100 000 a 100 125. Esta mejora del valor óptimo, es decir, el precio dual de la restricción es 125.

o. Como en la solución óptima, el valor de X2 es diferente de cero, su costo reducido es cero.

Como en la solución óptima, el valor de X1 es cero, su costo reducido es diferente de cero.

Como en la solución óptima X1 = 0, el coeficiente de X1 en la función objetivo debe cambiar (aumentar) y eso supone un cambio de la pendiente de la función objetivo.

Debido a que es una función objetivo a maximizar, los coeficientes representan las utilidades unitarias. Si X1 = 0 en la solución óptima es porque su utilidad no es suficiente y debe aumentar. La pendiente de la función objetivo debe cambiar hasta por lo menos igualar la pendiente de la segunda restricción y obtener soluciones óptimas alternativas, es decir, si C1 es el nuevo coeficiente de X1

, por lo tanto C1 = 250

El nuevo coeficiente debería ser por lo menos 250 para que la solución de X1 sea diferente de cero. Entonces el aumento mínimo del coeficiente de X1 es 250 – 100 = 150, que es el precio dual de X2.

3. SIGNIFICADO DE LOS LÍMITES DE FACTIBILIDAD PARA LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Recuerde que la región factible tiene poco o nada que ver con la función objetivo (minim. o maxim.). Estas dos partes en cualquier formulación de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La función objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la región factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija

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