Aplicaciones Del Cálculo A La Administración Y A La Economía

Aplicaciones Del Cálculo A La Administración Y A La Economía

Las aplicaciones del cálculo a la administración y a la economía son variadas, pero por el momento sólo mencionaremos como podemos aplicar la derivada para obtener la maximización de utilidades: Para ilustrar cómo puede aplicarse la derivada a situaciones prácticas, a continuación se presenta la solución de un problema de maximización de utilidades: Suponga que la utilidad de un fabricante por la venta de radios está dada por la función:

P(x) = 400(15 – x)(x – 2), donde x es el precio al que se venden los radios. Halle el precio de venta que maximiza las utilidades.

Solución:

EL objetivo es encontrar el valor de x que maximiza la utilidad P(x). Esto es el valor de x para el cual la pendiente de la recta tangente es cero. Como la pendiente de la recta tangente está dada por la derivada, primero se calcula P’(x). Para simplificar, la definición d ela derivada se aplica a la forma no factorizada de la función de utilidad.

P(x) = -400x2 + 6800x – 12000

Se encuentra que:

P’(x) = lim P(x + Dx) – P(x)

 Dx-0   Dx   = lim -400(x + Dx)2 + 6800(x + Dx) – 12000- (-400x2 + 6800x – 12000)

 Dx= lim -400 (Dx)2 – 800x Dx + 6800 Dx

Dx = lim (-400 Dx – 800x + 6800)  = -800x + 6800

 Para hallar el valor de x en el que la pendiente de la tangente es cero, iguale la derivada a cero y despeje x en la ecuación resultante, como sigue:

P(x) = 0

-800x + 6800 = 0

 800x = 6800

 x = 6800 = 8.5

800

De aquí se deduce que x = 8.5 es la coordenada x de la cima de la gráfica y que el precio de venta es de $8.50 por radio. Otra aplicación del cálculo a la administración y a la economía es utilizando la razón de cambio porcentual. Para ilustrar esto podemos utilizar el siguiente problema:

El producto nacional bruto (PNB) de cierto país era N(f) = t2 + 5t + 106 miles de millones de dólares t años después de 1980.

a)      ¿A qué razón cambia el PNB con respecto al tiempo en 1988?

b)     ¿A qué razón porcentual cambia el PNB con respecto al tiempo en 1988?

Solución:

Sabemos que la razón de cambio instantánea está dada por la derivada de la función y la razón de cambio porcentual está dada 100 f ‘(x)

 f(x)

Por lo tanto; 

a)      la razón de cambio del PNB es la derivada N’(t) = 2t + 5. La razón de cambio en 1988 será N’(8) = 2(8) + 5 = 21 mil millones de dólares al año.

b)     La razón de cambio porcentual del PNB en 1988 será

                   100N’(8) = 10021 = 10% anual

                          N(8)          210

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