CALCULO

3.1 APLICACIONES QUE INVOLUCRAN UN EXTREMO ABSOLUTO EN UN INTERVALO CERRADO.

Ahora se aplicara el teorema del valor extremo a problemas en los que la solución es un extremo absoluto de una unción en un intervalo cerrado.

Ejemplo ilustrativo 1

Un fabricante de cajas de cartón quiere a elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares de cartón con dimensiones de 10 pulgas. Por 17 pulga., cortando cuadrados en las 4 esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea terminar la longitud del lado de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen posible.

Si x pulgada es la longitud de los lados de los cuadrados que se cortaran y V(x) pulga, cubicas es el volumen de la caja entonces

V(x)= 170x -54 x^2 + 4 x^3

Y el dominio de V es el intervalo cerrado [0,5]. Como V es continua en [0,5], se sabe, por el teorema del valor extremo que en este intervalo V tiene un valor máximo absoluto, el cual ocurre en un numero critico o en un extremo del inérvalo. Para obtener los números críticos se calcula V´(x) y se determinan los valores de x para los que V’(x)= 0 o V’(x) no existe.

V’(x) = 170 – 108x + 12x^2

V’(x) existe para todos los valores de x. al igualar V’(x) a cero y despejar x se tiene

2(6x^2 - 54x + 85)= 0

X= (54 ± √(-54〖)^2-4(6)(85)〗^ )/12

De donde se obtiene x = 6.97 y x =2.03. De modo que el único valor critico de V en [0,5] es 2.03. Como V (0)= 0 y V (5)= 0, mientras que V (2.03)= 156.03, el valor máximo absolutos de v ocurre cuando x= 2.03.

Conclusión: el mayor volumen posible es 156.03 〖pulg〗^3, y se obtiene cuando la longitud de los lados de los cuadrados que se cortaran es de 2.03 pulg.

3.2 TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El matemático francés Michel Rolle descubrió este teorema en 1691.

El teorema de los valores extremos establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza necesariamente un valor máximo y un valor mínimo en él. Ahora bien, estos valores pueden producirse en los puntos terminales. El teorema de Rolle, establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de un valor externo en el interior de un intervalo cerrado.

Teorema de Rolle

Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si

f(a)=f (b)

Existe al menos un numero c en (a, b) tal que f^' (c)=0.

El teorema de Rolle nos dice que si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f(a)=f(b), hay almenos un valor de x entre a y b en el que la grafica de f tiene tangente horizontal, Si se suprime la hipótesis de derivabilidad en el Teorema de Rolle, f tiene todavía un número crítico en (a, b) pero quizás no tenga en él tangente horizontal.

EJEMPLO 1

Hallar las dos x-intersecciones de f(x)=x^2-3x+2

Y probar que f´(x)=0 en algún punto intermedio.

Solución: Nótese que f es derivable en toda la recta real. Al igual f(x) a cero obtenemos

x^2-3x+2=0 Igualar f(x) a cero.

(x-1)(x-2)=0 Factorizar

Así pues, f(1)=f(2)=0 luego el Teorema de Rolle asegura la existencia de al menos un c en el intervalo (1, 2) tal que f^' (c)=0 . Para encontrar ese c, basta resolver la ecuación

f^' (x)=2x-3=0 Igualar f^' (x) a cero.

Ejemplo 4

Utilice el teorema del valor medio que si x > 0, entonces sen x < x.

Solución

Si x >1, entonces como sen x ≤1,sen x es en verdad menor que x. considere entonces que 0 < x ≤1 y sea f(x)=x –sen x

Entonces f’(x)=1 –cos⁡x como f es continua y diferenciable en cualquier numero se concluye, por el teorema de valor medio con a=0 y b=x, que existe algún numero c para el cual 0 < c < x ≤1, tal que

F’(c) = (f(x)- f(0))/(x-0)

Debido a que f (0)=0 y f’(c) =1 –cos⁡〖c,〗 de la ecuación anterior se tiene x ( 1-cos⁡〖c)〗= f (x)

0 < c < 1.

E el miembro izquierdo de esta ecuación los dos factores son positivos. De modo que

0 < f(x)

0 < x –sen x

San x < x

3.3 Funciones crecientes y decrecientes, y criterio de la primera derivada

Se aplicara la derivada a fin de obtener propiedades de las gráficas de las funciones.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CRECIENTE

Una función definida en un intervalo es creciente en ese intervalo si y solo si f (x_1) < f (x_2) siempre que x_1 < x_2.

Donde x_1 y x_2 son dos números cualesquiera del intervalo.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo si y solo si

F (x_1) > f (x_2) siempre que x_(1 < ) x_2

Donde x_(1 ) y x_2 son dos números cuales quiera del intervalo.

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b) :

Si f’(x) > 0 para toda x en (a,b) , entonces f es creciente en [a,b] :

Si f’(x) < 0 para toda x en (a,b) , entonces f es decreciente en [a,b].

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