CIRCUNFERENCIA Ecuación de la circunferencia

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.

Ecuación de la circunferencia

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:

d(X, O) = r, es decir:

[pic 1]

                                           (x - a)2 + (y - b)2 = r2                                 

Desarrollando los cuadrados se tiene:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2

x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

Llamando A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2, se tiene:

                                      x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia

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 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

Resolución:

· La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

[pic 2]

· Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

                    [pic 3]

                                Þ x2  - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9

                                     x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0

‚ Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al

punto (-2, 3).

Resolución:

[pic 4]

Así la ecuación es:

[pic 5]

x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13

x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

ƒ Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

Resolución:

· El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

                                  [pic 6]

· La ecuación es:

                                   [pic 7]

                                 x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5

                                5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0

„ ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?

Resolución:

La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:

           [pic 8]

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:

                                    [pic 9]

Así, la ecuación pedida es:

[pic 10]

Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Si una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro en el punto (x0, y0), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector

-x0 [pic 11]1 - y0 [pic 12]2 y obtener una elipse centrada en el origen.

Entonces el punto que ha de verificar la ecuación canónica es (x - x0, y - y0). Por tanto, su ecuación es:

                                    [pic 13]

Desarrollando esta ecuación, se obtiene:

b2x2 - 2b2x0 x + b2x02 + a2y2 - 2a2 y0y + a2y02 - a2b2 = 0,

que se puede poner en la forma:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.

Ecuación de una elipse vertical

Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:

                                    [pic 14]

Los vértices son los puntos (x0 ± b, y0) y (x0, y0 ± a) y los focos son (x0, y0 ± c).

Reducción de la ecuación de una elipse

Dada una ecuación del tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse [pic 15]

por el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación reducida de la elipse.

Si el segundo miembro fuese 1, se tendría una elipse centrada en (x0, y0). Los ejes

de la elipse son las rectas x = x0 e y = y0. Los vértices son (x0 ± a, y0) y (x0, y0 ± b).

En otro caso, como una suma de cuadrados es siempre positiva, se tendría que ningún punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria.

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