PRIMERA DEFINICIÓN.- Un determinante es una función que asocia a toda matriz cuadrada un número real.

DETERMINANTES

Esta simbolizada por det (A) ó |A|

PRIMERA DEFINICIÓN.- Un determinante es una función que asocia a toda matriz cuadrada un número real.

det (Anxn)     ʃ: M mxm → R

SEGUNDA DEFINICIÓN.- Necesitamos definir algunos conceptos anteriores

PERMUTACIÓN.- Representa la cantidad posible de ordenamientos cuando se toma “n” elementos de “n” elementos.

P2 = 2! = 2                        P3 = 3! = 6

EJEMPLO:          (1,2)                (1,2,3)        (1,3,2)        (2,1,3)

                       (2,1)                (2,3,1)        (3,1,2)        (3,2,1)

INVERSIÓN.- Es toda permutación de “n” elementos

(a1, a2, a3, a4, a4, … … …. , ak, … … … an)

Una inversión es la cantidad de elementos posteriores y menores a todo ai para todo “i”desde 1 hasta n.

Si la cantidad es par la inversión es positiva si es impar la inversión es negativa.

(1,2) → +0 inv

(2,1) → +1 inv

(1,2,3) → +0 inv

(1,3,2) → +1 inv                EJEMPLO        (7,3,4,8,6,5,9,11) = 4 + 2 +1 = 7 inv

(1,3,2) → +1 inv

(2,3,1) → +2 inv

(3,1,2) → +2 inv

(3,2,1) → +3 inv

PRODUCTO ELEMENTAL

En toda matriz Anxn = [ai j] un producto elemental se define como el producto de “n” términos de una matríz que no pertenece a la misma fila y columna.

En toda matriz existen “n!” elementos productores o productos elementales

                  productos elementales[pic 1][pic 2]

                               + a11   *   a22

                                   -  a12   *   a21

                   productos elementales[pic 3][pic 4]

                  a11   *   a22   *   a33  

                  a21   *   a23   *   a31

                  a13   *   a21   *   a32    

                                                                       a12   *   a21   *   a33  

                                                           a13   *   a22   *   a31

                                                           a11   *   a23   *   a32    

ENTONCES SE DEFINE DETERMINANTE COMO.-

La sumatoria de todos los productos elementales de una matriz, tomamos con signo de acuerdo a la inversión asociada a sus segundos subíndices:

          [pic 5][pic 6]

               =  ( a11   *   a22  ) -  (a12   *   a21)

                                   [pic 7][pic 8]

=  (a11   *   a22   *   a33   +     a12   *   a23   *   a31 + a13   *   a21   *   a32) –

         a13   *   a22   *   a31 +     a11   *   a23   *   a12 + a12   *   a21   *   a33)

   [pic 9][pic 10]

                  =  a11   *   a22   -  a12   *   a21

Para el det (A4x4) = Σ productos elementales

PROPIEDADES

Sea Anxn con filas o columnas

Anxn = [A1,  A2,  A3, … … … … An – 2, An – 1, An] propiedades

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