Ejercicios - Oligopolio

6.6 PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 6.6.1

Determinación del nivel de producción de máximo beneficio: comparación entre el mercado cuasi competitivo, el monopolio y el duopolio de Cournot.

Suponga que una empresa con monopolio sobre la producción enfrenta una función de demanda dada por: q = 120 – p. Supongamos que la empresa enfrenta solamente costos fijos por valor a $ 30.

a) Determine la posición de equilibrio de mercado (precios y cantidad producida)  para el caso de monopolio y el beneficio total de la empresa.

b) Utilice el modelo de Cournot (duopolio) para predecir el nivel de producción de mercado, el precio y el nivel de producción de cada empresa en el caso que ingresara un segundo productor al  mercado y cada empresa enfrentara los mismos costos fijos que en el ítem anterior.

c) Indique el nivel de beneficio del mercado en su totalidad y el beneficio obtenido por cada empresa en el modelo de Cournot.

d) Explique como hubiese sido la producción, el precio y el beneficio si las dos empresas oligopólicas se enfrentaran en una situación cuasicompetitiva.

Solución

a)

La función de demanda es q = 120 – p  y sabemos el ingreso total IT está dado por:

IT = pq                        (6.22)

Despejando el precio p en la función de demanda, obtenemos la función de demanda inversa.

p = 120 – q                 (6.23)

Reemplazamos (6.23) en (6.22):

IT = (120 – q)q                Resolvemos:

IT =  120q – q2                (6.24)

Derivamos la ecuación (6.24) para obtener el ingreso marginal IMg :

IMg = 120 – 2q                (6.25)

Como CMg = 0 (solamente hay costos fijos), aplicando la condición de maximización de primer órden se tiene que CMg = IMg. Por lo tanto:

0 = 120 – 2q

q = 60                         (6.26).

Reemplazamos (6.26) en (6.24):

p = 120 – 60

p = 60        

La producción de equilibrio ocurre cuando el precio es $ 60 y el nivel de producción es de 60 unidades. (Esta también sería la solución en el caso de cartel, aunque la producción  de cada empresa y los beneficios correspondientes de cada firma no resulten determinados con exactitud).

El beneficio total π es igual a:

π = ingreso total – costo total.

π =  (precio x cantidad) – costo total

Expresándolo matemáticamente tenemos:

π = q.f(q) – F                (6.27)  

donde:                 π = beneficio de la empresa

q = cantidad producida del bien.

f(q) = precio del bien en función de la cantidad (función inversa de demanda).        

                F = costo total (en este caso, costos fijos solamente).

Reemplazando en (6.27) los valores obtenidos en la solución de maximización de beneficio y el costo fijo, obtenemos:

π = 60(60) – 30        

π = 3.570

El beneficio total en situación de monopolio es de $ 3.570.

b)

Para el caso de duopolio q = q1 + q2 = 120 – p        

donde:

                    q = producción total de mercado

                                                 q1 = producción empresa 1.

                                                q2 = producción empresa 2.

                                                120 – p = función demanda del mercado.

La información anterior establece que la cantidad total demandada del mercado es igual a la suma de la cantidad demandada  de las dos empresas y se puede determinar a través de la función de demanda del mercado.

La función demanda de la empresa 1 es:

q1  = (120 – q2) – p                (6.28)        

Esto significa que para hallar la cantidad suministrada por la empresa 1, a la función demanda total se le resta la cantidad suministrada por la empresa 2. Recordemos el supuesto de Cournot que plantea que cada rival no reacciona a las decisiones de producción de su oponente.

El máximo beneficio de la empresa 1 se obtiene donde el ingreso marginal de dicha firma es igual a su costo marginal (IMg = CMg).

Obtenemos el ingreso marginal. Primero encontramos la función ingreso total IT para la empresa 1:

IT1 = pq1                        (6.29)

La función de demanda de la empresa 1, expresando el precio p en función de la cantidad q en la ecuación (6.29) es:

p = (120 – q2) – q1                (6.30)                         Reemplazando (6.30) en (6.29):

IT1 = (120 – q2 – q1)q1

IT1 = 120q1 – q2q1 – q12                 (6.31)                

Hallamos el ingreso marginal de la empresa 1 derivando (6.31) respecto a q1:

 IMg1 = dIT1/q1 =  120 – q2 – 2q1

Para hallar el nivel de producción de máximo beneficio de la empresa 1, hacemos CMg = IMg. Como CMg = 0:

120 – q2 – 2q1 = 0                (6.32)        Resolviendo para q1:

q1 = (120 – q2) /2                (6.33)

Lo anterior significa que la cantidad de máximo beneficio para la empresa 1 ocurre al producir la mitad de la producción total demandada al precio de un mercado competitivo  después de haber restado la producción de la empresa 2.

Igualmente, lo anterior permite aseverar que la producción de la empresa 1 depende de la producción de la empresa 2 y viceversa. Hallamos el nivel de producción de máximo beneficio de la empresa 2, (igualando IMg2 y CMg2):

120 – q1 – 2q2 = 0                     (6.34)        Resolviendo para q2:

q2 =  (120 – q1) / 2                (6.35)

Las ecuaciones (6.33) y (6.35) reciben el nombre de funciones de reacción en el modelo del duopolio de Cournot. En este tipo de equilibrio, las empresas no tienen incentivos para cambiar su producción o precios razón por la cual esta situación también recibe la denominación de equilibrio de Nash. Se debe tener presente que en el nivel de producción decretado por las funciones de reacción,  las 2 empresas están maximizando beneficios.

Como en el modelo de Cournot cada empresa debe producir lo que la otra cree que va a producir, se deduce que para hallar la solución de equilibrio para el mercado debemos resolver el sistema de ecuaciones que plantea las condiciones de máximo beneficio para las empresas 1 y 2 (ecuaciones 6.32 y 6.34).

120 – q2 – 2q1 = 0        (Condición maximización beneficio empresa 1)

120 – q1 – 2q2 = 0             (Condición maximización beneficio empresa 2)

Resolvemos simultáneamente las dos ecuaciones a través del método de eliminación (multiplicamos la primera ecuación por – 2 y luego la sumamos con la ecuación 1 para eliminar a q2). Así obtenemos:

–120 + 3q1  = 0

q1 = 40         

Si reemplazamos este último valor en alguna de las funciones de reacción (ecuación 6.33 o 6.35) observamos que:

q1 = q2 = 40                (6.36)

Por lo tanto, en el punto de máximo beneficio para el duopolio, el modelo de Cournot plantea que cada empresa tendrá la misma producción, tal como se había señalado en la sección 6.2 de este documento. La producción total del mercado será q = (q1 + q2) =  80 unidades.

Para obtener el precio del mercado,  reemplazamos los valores hallados en (6.36) en la ecuación (6.30):

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