INVESTIGACION DE OPERACIONES

Libro: Investigación de Operaciones Aplicaciones Y Algoritmos

Titulo del Capitulo: Análisis de Sensibilidad: Un enfoque Aplicado

Paginas: 227-262

Autor: Wayne L. Winston

Editorial: Thomson Editores S.A.

Año de Publicación del Libro: 2005 4ta Edición

Contenido Principal Del Capitulo: pág.

5.1 Introducción grafica al análisis de sensibilidad………………………………………………………………….227

5.2 La computadora y el análisis de sensibilidad…………………………………………………………………. .232

5.3 Aplicación administrativa de los precios sombras………………………………………………………….. 246

5.4 ¿Qué sucede con el valor optimo de z si la base actual ya no es optima?........................... 248

Análisis de cada componente

5.1 Introducción grafica al análisis de sensibilidad

El análisis de sensibilidad se relaciona con la manera en que los cambios en los parámetros de PL afectan la solución óptima.

Reconsiderando el problema de Giapetto de la sección 3.1:

Máx. z = 3x1 + 2x2

Si 2x1 + x2≤100

X1 + x2≤ 80

X1 ≤40

+X1.X2≥0

Donde

X1=cantidad de soldados producidos por semana

X2=cantidad de trenes fabricados por semana

La solución optima para este problema es z = 180x1 = 20x2 = 60 (punto B en la grafica 1), y tiene x1, x2 y x3 (la variable de holgura para la restricción de la demanda) como variables básicas. ¿Cuál seria el cambio que provocarían las modificaciones en los coeficientes de la función objetivo del problema, o en los segundos miembros en esta solución optima?

Análisis grafico del efecto de un cambio en un coeficiente de la función objetivo

Si la contribución de un soldado a la utilidad fuera un incremento suficiente, entonces parecería razonable que lo optimo para giapetto seria producir mas soldados (es decir X3 se volvería no básica). De manera similar, si con la contribución de un soldado a la utilidad esta disminuyera de manera suficiente, entonces lo optimo para giapetto seria producir solo trenes ( X1 seria no básica). Enseguida se muestra como determinar los valores de la contribución por parte de los soldados a la utilidad para los cuales la base actual optima seguirá siendo optima.

Sea C1 la contribución a la utilidad por parte de cada soldado. ¿Para qué valores de C1 la base actual sigue siendo optima?

Figura 1

En la actualidad, C1 =3, y cada rectan de insoganancias tiene la forma 3x1 + 2x2= constante es decir,

X2= - 3X1 + constante

2 2

Y cada recta de insoganancias tiene una pendiente de -3/2, Al examinar a la figura 1, se ve que si un cambio en C1 ocasiona que las rectas de isoganancias se aplanen mas que la restricción de la carpintería , entonces la solución optima cambiara desde la solución optima actual (punto B)hasta una nueva solución optima (Punto A). Si la utilidad por cada soldado es C1, la pendiente de cada recta de insoganancias será –C1/2. Como la pendiente de la restricción de la carpintería es -1, las rectas de insoganancias serán mas planas que la restricción de la carpintería si –C1/2>-1, es decir, C1<2 y la base actual ya no será optima. La solución optima nueva será (0,80), el punto A de la figura 1.

Si las rectas de insoganancias tiene mayor pendiente que la restricción del acabado, entonces la solución óptima pasara del punto B al punto C. La pendiente de la restricción del acabado es -2, si –C2<-2, o C1>4, entonces la base actual ya no será optima y el punto C (40,20) será el optimo. En resumen ya se mostro que (Si todos los otros parámetros permanecen sin cambios) la base actual sigue siendo optima para 2≤ C1 ≤4, y Giapetto debería manufacturar 20 soldados y 60 trenes.

Análisis grafico del efecto de un cambio en el lado derecho de la solución optima del PL

También podemos usar el análisis grafico para determinar si un cambio en el lado derecho de un a restricción hará que la base actual ya no sea optima. Sea b1 el numero de horas de acabado disponibles, actualmente b1 =100 ¿Para que valores de b1 la base actual sigue siendo optima?

Figura 2

Como observamos en la figura 2 un cambio en b1 desplaza la restricción del acabado en forma paralela a su posición actual. La solución actual óptima es donde las restricciones de la carpintería y el acabado son activos. En la figura 2 se observa que si b1 > 120, entonces el punto donde las restricciones del acabado y la carpintería son activas quedara en la parte de la restricción de la carpintería abajo del punto D. obsérvese que en el punto D, 2(40) + 40=120 horas de acabado se usan. En esta región, X1>40 y la restricción de la demanda para los soldados no se cumple. Por lo tanto para b1>120, la base actual ya no será optima de la misma forma si b1<80 entonces las restricciones de la carpintería y el acabado serán activas en un punto no factibles que tiene X1>0 y la base actual ya no será optima obsérvese que en el punto A, O+80=80 horas de acabado se utilizan. Por consiguiente (si todos los otros parámetros no cambian) la base actual sigue siendo optima si 80≤ b1≤ 120.

Por ejemplo si 80≤ b1≤ 100 entonces la solución optima pasara del punto B a algún otro punto del segmento de recta AB. De manera similar, si 100≤ b1≤ 120.entonces la solución optima cambiara del punto B a algún otro punto sobre la recta BD.

Precios Sombras

A menudo es importante que los administradores determinen que tanto se modifican el valor óptimo de z del PL cuando hay cambios en el segundo miembro de una restricción. Con esto en mente, el precio sombra para la i-esima restricción de un PL se define como la cantidad en que mejora el valor optimo de z,-incremento en un problema de maximización y disminución en un problema de minimización –si el lado derecho de la i-esima restricción aumenta en uno. Esta definición se aplica solo si el cambio en el lado derecho de la restricción i es óptima la base actual

Para cualquier PL de dos variables, es fácil determinar el precio sombra de cada restricción. Por ejemplo, ya sabemos que si 100+ horas de acabado están disponibles (suponiendo que la base actual sigue siendo optima), entonces la solución optima del PL esX2=20 + y X2=60- . Entonces el valor optimo de z será igual a 3X2+2X2=3(20+ )+2(60- )=180+ .Entonces, siempre que la base actual siga siendo optima, el incremento de una unidad en la cantidad de horas de acabado disponibles incrementa el valor optimo de z en 1 dólar. Entonces el precio sombra de la primera restricción (horas de acabado) es 1 dólar

Importancia de los análisis de sensibilidad.

El Análisis de sensibilidad es importante por varias razones. En diversas aplicaciones, los valores de los parámetros de un PL podrían cambiar. Por ejemplo podría cambiar los precios a los cuales a los soldados y trenes se venden o la disponibilidad de las horas de carpintería y acabado. Si cambia un parámetro entonces con el análisis de sensibilidad ya no es necesario resolver el problema e nuevo porque la solución seguiría siendo optima .Naturalmente resolver de nuevo el problema de giapetto ya no seria muy difícil, pero resolver otra vez un PL con miles de variables y restricciones seria una tarea bastante pesada. Cuando el analista sabe manejar el análisis de sensibilidad puede determinar, a partir de la solución original, como los cambios en los parámetros de un PL modifican la solución optima

5.2 La computadora y el análisis de sensibilidad

Si un PL tiene mas de dos variables de decisión, no es posible determinar en forma grafica el intervalo de valores para un segundo miembro para el cual la base actual sigue siendo optima. Estos intervalos se pueden calcular mediante cálculos a mano, pero resulta tedioso, por lo que se determinan regularmente mediante paquetes para computadoras. En esta sección estudiaremos la interpretación de la información del análisis de sensibilidad en los resultados que proporciona LINDO.

Para obtener una información en LINDO se debe seleccionar YES cuando se le pregunte (después de resolver un PL ) si desea un Range Analysis (análisis de intervalos). Si quiere un informe de sensibilidad en LINGO, vaya a OPTIONS y seleccione range (después de resolver un PL), si esto no funciona entonces vaya a Options y seleccione la pestaña General Salver Luego vaya a Dual Computations y seleccione la opción Ranges and Values.

Costos reducidos y análisis de sensibilidad

La parte de REDUCED COST (Costos reducidos) de los resultados que proporciona LINDO nos brinda información acerca de como cambia la solución optima del PL cuando se modifica el coeficiente de la función objetivo en el caso de una variable no básica. Para simplificar el problema supongamos que la sfb optima actual no es degenerada es decir PL tienen restricciones entonces la solución actual optima tiene n variables que asumen valores positivos.

Suponiendo que el costo reducido de la variable no básica X1 es 1 dólar esto implica que si aumenta exactamente 1 dólar el coeficiente de X1 de la función objetivo entonces tendremos soluciones óptimas alternas, por lo menos en una de las cuales X1 será variable básica. Si en caso de que el coeficiente de X1 de la función objetivo aumenta en más de 1 dólar entonces cualquier solución para PL tendrá como variable básica a X1 por lo tanto el costo reducido para X1 es la cantidad que le sobra o le falta a X1 para estar en la base óptima.

Intervalos para los lados derechos

Esta información se encuentra en la sección RIGHTHAND SIDE RANGES de los resultados que proporciona LINDO

Precios sombras y precios dual

El precio sombra para cada restricción se encuentran se encuentran el la sección DUAL PRICES (precios dual) de los resultados que proporciona LINDO

Los signos de los precios sombras

Una restricción ≥ tendrá siempre un precio sombra no positivo; una restricción ≤ siempre tendrá un precio sombra no negativo, y una restricción de igualdad siempre un precio sombra positivo, negativo o cero

. Para ver que esto es verdadero observe que al sumar puntos a la región factible de un PL, solo puede mejorar el valor optimo de z o dejarlo igual. Eliminar puntos de la región factible de un PL solo puede hacer que el valor de x óptimo empeore o quede igual.

Análisis de sensibilidad y variables de holgura y excedente

Es posible mostrar que para cualquier restricción de desigualdad el producto de los valores de la variable de holgura o excedente de la restricción y el precio sombra de la misma tienen que ser iguales a cero. Esto quiere decir que cualquier restricción cuya variable de holgura o excedente es >0, tendrá un precio sombra de cero. También quiere decir que cualquier restricción con un precio sombra no cero tiene que ser activa (tener holgura o excedente igual a cero).

Para restricciones con holgura o excedente no cero, el valor de la variable de holgura, o excedente, se relaciona con las secciones ALLOWABLE INCREASE y ALLOWABLE DECREASE de la parte RIGHTHAND SIDE RANGES de los resultados que proporciona LINDO.

Para cualquier restricción que tiene holgura o excedente positivo, el valor optimo de z y los valores de las variables de decisiones permanecen sin cambio dentro del intervalo admisible del lado derecho.

5.3 Aplicación administrativa de los precios sombra

El significado administrativo de los precios sombras se analiza en esta acción. Aprenderemos en particular, como es posible usar con frecuencia los precios sombras para contestar las preguntas siguientes: ¿Cuál es la cantidad máxima que un administrador debería estar dispuesto a pagar por una unidad adicional de un cierto recurso? Para poder contestar esta pregunta centramos por lo regular nuestra atención en el precio sombra de la restricción que describe la disponibilidad del recurso. Enseguida analizamos un ejemplo de la interpretación de precio sombra.

Ejemplo: ¿Cuál es lo máximo que Winco estaría dispuesto a pagar por una unidad de materia prima? ¿Y por una hora extra de mano de obra?

Solución: Como el precio sombra de la restricción de la disponibilidad de la, materia prima es 1, una unidad extra incrementaría el ingreso total en 1 dólar. Por lo tanto Winco podría pagar hasta 1 dólar por unidad de materia prima y estar tan bien como ahora. Esto quiere decir que Winco debería estar dispuesto a pagar hasta 1 dólar por unidad extra de materia prima. La restricción de la disponibilidad de la mano de obra tiene un precio sombra de 0. Esto quiere decir que una hora extra de mano d obra no incrementa los ingresos, por eso Winco no debería estar dispuesto a pagar nada por una hora extra de mano de obra.

5.4 ¿Qué sucede con el valor optimo de z si la base actual ya no es optima?

Supóngase que modificamos el lado derecho de una restricción a un valor donde la base actual ya no es óptima. En tales circunstancias, la característica LINDO Parametrics se puede utilizar para determinar como cambian el precio sombra de una restricción y el valor optimo de z.

Supóngase que se desea determinar como cambiaran el valor optimo de z y el precio sombra cuando la cantidad de materia prima disponible varía entre 0 y 10000 unidades. Primero se advierte que con poca materia prima disponible, el PL será no factible. Para empezar, se modifica la cantidad de materia prima disponible a 0. Entonces se sabe a partir de los resultados del intervalo y del análisis de sensibilidad, que el renglón 4 tiene un Allowable Decrease (Decremento permisible) de -3900. Esto quiere decir que si dispone por lo menos de 3900 unidades de materia prima el problema es factible

Conclusión del análisis:

El autor del libro Winston Wayne explica de una manera que no es entendible a simple vista del estudiante sobre los procedimientos a seguir de un ejercicio que nos plantea el libro también hay que señalar que en cuanto a simbologías que utiliza en el libro especialmente en el capitulo 5 no se sabe el significado de la misma como ser PL puesto que no hace referencia si es en el grafico o tiene un significado especifico.

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