Matematicas Para Negocios

LINEA RECTA

DEFINICIÓN

La recta, o línea recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión; está compuesta de infinitos segmentos.

ECUACIONES DE LA LINEA RECTA

Forma de los dos puntos.

y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )= (x- x_1 )

Forma de punto y pendiente.

y-y_1=m(x-x_1 )

Forma de pendiente intersección

γ=mx+b

Forma con intersecciones.

x/a+y/b=1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Determina la ecuación de la línea recta que pasa por los siguientes puntos.

(2,2)

(5,6)

y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )= (x- x_1 )

y-2= (6-2)/(5-2) (x-2)

y-2=4/3 (x-2)

y-2=4/3 x-8/3

y-2=4/3 x-8/3+2

y=4/3 x-2/3

Determina la ecuación general de la recta que pasa por (-2,6) si m = 3/4

y-y_1=m(x-x_1 )

y-6=3/4 [x-(-2)]

4(y-6)=3(x+2)

4y-24=3x+6

0=3x-4y+30

Determinar la pendiente y la intersección con el eje y de la recta definida por 2x +3y = 8

γ=mx+b

3y=-2x+8

y=-2/3 x+8/3

Por lo tanto: pendiente = -2/3 Intersección con eje x = 8/3

Determinar ecuación de la intersección con los puntos (-6,0) y (0.5)

x/a+y/b=1

x/(-6)+y/5=1

Despejamos y:

y/5=x/6+1

y=5/6x+5

MODELOS DE EQUILIBRIO

Se le llama punto de equilibrio cuando una empresa al diferenciar los ingresos y los costos muestra un saldo en 0.

EQUILIBRIO EMPRESARIAL

El término equilibrio empresarias se utiliza cuando esta no obtendrá pérdidas ni ganancias y se muestra con la siguiente formula:

I = CT

Donde “I” corresponde a los ingresos y “CT” corresponde a los costos totales.

EJERCICIO

Para cierto producto se tiene determinado que el CT es de $ 9000 y el CV es de $9.50 por unidad, la empresa vende el producto en paquetes de 10 a un valor de $135. Determine el punto de equilibrio.

C_F=9000

C_V=9.50c/u x 10=95 por paquete

$ = 135 por paquete

X=

C_T=C_F+ C_V (x)

= 9000+95x

PARÁBOLA

DEFINICIÓN

La parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.

GRAFICA

PROCEDIMIENTO DE LA FORMA CANÓNICA

CALCÚLO DIFERENCIAL

LIMITES

El limites un concepto que describe la tendencia de una sucesión o función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando “x” tiende a “c” y se escribe:

Lim┬(x→c)⁡〖=L〗

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Obtener el siguiente límite:

〖 Lim〗┬( x→0)⁡〖 (x^5-1)(x^3+4)〗

〖 Lim〗┬( x→0)⁡〖 (0^5-1)(0^3+4)〗=〖 Lim〗┬( x→0) (-1)(4)=-4

〖 Lim〗┬( x→0)⁡〖 (x^5-1)(x^3+4)〗=-4

El límite de (x^5-1)(x^3+4) cuando x tiene a 0 es igual a -4.

Obtener el siguiente límite:

〖 Lim〗┬( x→4)⁡〖(x^2-16)/(x-4)〗=

〖 Lim〗┬( x→4)⁡〖((x+4)(x-4))/(x-4)〗=

〖 Lim〗┬( x→4)⁡〖(x+4)〗=(4+4)=8

〖 Lim〗┬( x→4)⁡〖(x^2-16)/(x-4)〗=8

El límite de (x^2-16)/(x-4) cuando x tiende a 4 es igual a 8.

TASA DE CAMBIO PROMEDIO

CONCEPTO

La tasa de cambio promedio (TCP) de una función “f”, se define como la razón ( Δy)/( Δx), de tal manera que Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/Δx

Se requiere que el intervalo (x, Δx) pertenezca al dominio de f.

EJERCICIO

El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro, si p es el precio por litro, se encuentra que el volumen de venta q (en litros) por dia está dado por:

Q=5000(150-p)

Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de 120 centavos a 130 centavos por litro.

p_1=120 centavos por litro

p_2=130 centavos por litro

Δp= p_1-p_2=130-120

Δp=10 centavos

q_1=5000(150-120)

= 5000(30)

q_1=150 000

q_2=5000(150-130)

= 5000(20)

q_2=100 000

Δq=q_2-q_1

=10000-150000

Δq=-50000 El incremento en el volumen de ventas con el precio de 10 centavos provoca que disminuya el consumo de 50000 de litros al día.

DERIVADA POR LA REGLA DE LOS 4 PASOS

Se incrementa la variable dependiente y la independiente.

A la función incrementada se le resta la función original

Se divide dicha función entre Δx (incremento de la variable)

Se toman límites cuando el incremento de la variable tiene a cero.

EJEMPLO

Obtener la derivada de y=3x

y+ Δy = 3(x+ Δx)

–y+ Δy = 3x+ 3Δx

–y = -3x

Δy = 3 Δx

Δy/Δx = 3Δx/Δx

〖lim┬(Δx→0) 〗⁡〖Δy/Δx=3〗

y’= 3

La derivada de y=3x cuando Δx tiende a 0 es igual a 3.

FORMULARIO DE LAS REGLAS PARA DERIVAR

d/dx c=0

d/dx x^n=nx^(n-1)

d/dx [c.f(x)]=d/dx f(x)

d/dx [f(x)] ■(+@-) d/dx g(x)

d/dx [f(x)g(x)]=f(x) d/dx g^' (x)+g(x) d/dx f'(x)

d/dx (f(x))/(g(x))=(g(x) f^' (x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2

d/dx=dy/du . du/dx

d/dx u^(n-1 ) d/dx u

CONCEPTOS MARGINALES

COSTO MARGINAL

Se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

COSTO MARGINAL= (COSTO TOTAL)/CANTIDAD

Se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.

INGRESO MARGINAL

Es el ingreso adicional que se genera por el aumento de las ventas d productos en una unidad. Se expresa como la derivada primera de la función “IM” y la primera función del ingreso total es “IT”

IM= dIT/dQ=dP/dQ . dQ/dQ .P=P+Q . dP/dQ

UTILIDAD MARGINAL

Es la ganancia o pérdida ante el aumento o disminución del consumo del bien o servicio en una unidad

UM= I – C

EJERCICIO

Una empresa inmobiliaria cuenta con 400 departamentos, un estudio de mercadotecnia establece que si la renta es de $3000°° mensuales se ocupan todos los departamentos, pero al existir un incremento de $100°° mensuales un departamento queda vacío.

Determine la ecuación de los ingresos, la cual está en función de los departamentos rentados, obtenga la derivada de los ingresos.

x_1= 400

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