Matematicas financieras. Objetivo General

Matematicas financieras

Matematicas financieras -

1. Matemáticas Financieras Agosto- de 2011.
2. Objetivo General

• Proporcionar los temas fundamentales de las matemáticas financieras, a partir del concepto de Valor de Dinero en el Tiempo y sus derivaciones, como marco de referencia para la solución de problemas en la operación y evaluación de los instrumentos de inversión, deuda y cobertura que se operan en los mercados financieros.

1. Contenido

• Conceptos Básicos
• Interés Simple
• Interés Compuesto
• Tasas equivalentes, efectivas y nominales
• Inflación
• Técnicas de evaluación de proyectos de inversión
• Anualidades y Perpetuidades
• Amortización

1. Capítulo 1 CONCEPTOS BÁSICOS
2. Conceptos Básicos

• Matemáticas Financieras

• Son una rama de las matemáticas que explica el comportamiento del dinero a través del tiempo.
• Es una herramienta básica para la toma de decisiones de tipo social, económico y financiero

Capítulo 1. Conceptos Básicos

1. Capítulo 1. Conceptos Básicos CAMPO DE APLICACIÓN Yasukawa (2000) Tasa instantánea de descuento Análisis en contextos inflacionarios Valor Actual en el campo continuo Emisión de empréstitos Descuentos de tasas Valuación de deudas Procesos de Actualización Problemas relativos a la tasa de interés Tasa instantánea de interés Monto en el campo continuo Sistemas de amortizaciones Tasas y sus relaciones Amortizaciones de valores o extinción de deudas Procesos de Capitalización a Interés Simple y Compuesto APLICACIONES FUNDAMENTOS

• Valor del Dinero en el tiempo

• Aquí es importante familiarizarse con 2 elementos:

• Dinero
• Tiempo

• Estos dos factores están estrechamente relacionados debido a que el valor del dinero dependerá del momento en que lo utilicemos.

Capítulo 1. Conceptos Básicos

• Ejemplo:
• Si recibimos una cierta cantidad de dinero el día de hoy, probablemente nos sería más útil a que si nos la entregaran en dos meses
• Ahora si decidimos no utilizar el dinero en este momento estamos sacrificando un beneficio presente por uno futuro
• Este sacrificio debe ser compensado por una ganancia adicional .
• Esta ganancia es la tasa de interés que no es más que el pago por el uso del dinero

Capítulo 1. Conceptos Básicos

• La tasa de interés dependerá de la oferta y la demanda
• Si hay escasez de dinero el precio será alto y por tanto la tasa de interés será alta
• Si hay abundancia de dinero el precio bajará y las tasas también

TASA DE INTERÉS Características Capítulo 1. Conceptos Básicos

• Costo del Dinero
• Acreedor
• Ahorrador o inversionista
• Sacrifica el gasto presente
• Dispone exceso de recursos en un ahorro o inversión
• Recibe un rendimiento sobre sus ingresos
• Deudor
• Persona con necesidades financieras
• Acude a Instituciones financieras para allegarse de recursos

Capítulo 1. Conceptos Básicos El costo del dinero depende del papel que se asuma en alguna operación financiera, es decir acreedor o deudor

• Tasas de interés
• Tasa Activa
• Activo de la Institución Financiera
• El deudor pagará por hacer uso del dinero prestado
• Tasa Pasiva
• Pasivo de la Institución Financiera
• La institución financiera ofrece al acreedor a cambio de resguardar el dinero por un determinado tiempo

Capítulo 1. Conceptos Básicos

1. Costo del dinero Capítulo 1. Conceptos Básicos Ahorrador Institución Financiera (Banco) Deudor RENDIMIENTO (Tasa de interés pasiva) Exceso de dinero Falta de dinero COSTO DE CAPITAL (Tasa de interés activa)
2. RESUMEN

• Conceptos:

• Matemáticas Financieras y aplicaciones
• Valor del dinero en el tiempo
• Tasa de interés
• Costo del dinero
• Acreedor
• Deudor
• Tasa Activa
• Tasa Pasiva

Capítulo 1. Conceptos Básicos

1. Capítulo 2 INTERÉS SIMPLE
2. INTERÉS SIMPLE Características

• Rendimiento
• Se cobrará o pagará (dependiendo la situación) al final de un intervalo de tiempo
• Utilizado en deudas a corto plazo (de un año o menos).

Capítulo 2. Interés Simple

1. Componentes Capítulo 2. Interés Simple La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. ) A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera anual simple. Sigla Definición Descripción M Monto Capital más intereses generados al final del intervalo de tiempo. C Capital Inicial Cantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período I Interés Rendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial i Tasa de interés Relación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo. t Plazo Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días.
2. Funcionamiento Capítulo 2. Interés Simple Capital Capital Interés Fecha inicial Fecha final Monto Plazo
3. Ejemplo

• El Tesorero del Municipio A decide pedir un préstamo a una institución bancaria por la cantidad de $200,000.00; acordando con el ejecutivo de cuenta que en período de dos meses le entregará al banco la cantidad de $215,000.00. ¿Cuál es el Interés así como la tasa pactada?
• Se tienen los siguientes datos:

• C = $200,000
• M =$215,000
• t = dos meses

Capítulo 2. Interés Simple

• De acuerdo a la definición de Monto se tiene que:
• M = C + I
• Al sustituir los datos a la fórmula se obtiene que:
• 215,000 = 200,000 + I
• Entonces si se despeja la fórmula,

• I = $215,000 – $200,000
• I = $15,000

Capítulo 2. Interés Simple

• La tasa de interés , de acuerdo a la definición, es la relación que existe entre el Interés o Rendimiento generado y el Capital, por lo tanto:
• i = I / C
• Sustituyendo,
• i = $15,000 / $200,000
• i = 0.075 o bien expresado en porcentaje se multiplica por 100 y se obtiene 7.5%
• Lo anterior indica que el préstamo contraído generó un interés del 7.5% en DOS MESES

Capítulo 2. Interés Simple

• Para convertirlo a una tasa anual se tomará como base el año comercial:
• i (anual) = i (del plazo) / T * 360
• Sustituyendo,
• i(anual) = 7.5% / 60 * 360
• i(anual) = 45% anual

Conversión a Tasa Anual Capítulo 2. Interés Simple

1. Comprobación

• Podemos obtener también el Interés a través de la siguiente ecuación:
• I = C * i * t
• Sustituyendo,
• I = $200,000 * (7.5% / 60 días) * 60
• (Recordando la aclaración de que la base de la tasa de interés y el plazo, DEBE SER EL MISMO)
• I = $15,000

Capítulo 2. Interés Simple

1. VALOR FUTURO Características

• El Valor Futuro es la suma del Capital e Intereses
• Fórmula:

• M = C + I
• Sustituimos I por,
• I= C * i * t
• Por tanto,
• M = C + (C * i * t)

• Factorizando,
• M = C (1 + i * t)

Capítulo 2. Interés Simple

1. Ejemplo

• Al jefe del Departamento de Finanzas del Organismo de Agua Potable y Alcantarillado del Municipio H, se le pide abrir una cuenta bancaria para invertir los excedentes de recursos por los próximos dos años
• Investigando en diversas instituciones, la mejor tasa que le ofrecen es del 12% simple anual. ¿Cuánto obtendrá al término del plazo por el remanente de $300,000?

Capítulo 2. Interés Simple

• Los datos proporcionados son:
• C = $300,000
• i = 12% ó 0.12
• t = 2 años
• Sustituyendo
• M = C (1 + i * t)
• M = 300,000 ( 1 + 0.12 * 2 )
• M = 300,000 ( 1 + 0.24 )
• M= 300,000 ( 1.24 )
• M= $372,000

Capítulo 2. Interés Simple

1. Valor Presente Características

• El Valor Presente o Actual se le denomina al Capital
• Usos:

• Conocer la cantidad de ahorro hoy para disponer en un futuro.
• Ejemplo:¿Qué cantidad se tiene que ahorrar hoy para poder disponer de $150,000 en 10 años?
• En cuestiones económicas hay necesidad de deflactar.

Capítulo 2. Interés Simple

• Fórmula:
• M = C (1 + i * t)
• Despejando la ecuación,
• C = M / (1 + i * t)
• Esta ecuación sugiere que es descontado al Valor Futuro los intereses generados durante un determinado período de tiempo.

Capítulo 2. Interés Simple

1. Ejemplo:

• Una persona decide retirar el dinero de su Fondo de Ahorro porque desea adquirir un automóvil nuevo.
• Analizando la compra, se observó que el Primero de Marzo pagó $90,000.00; sin embargo el Primero de Diciembre decide venderlo para pagar unas deudas. Afortunadamente, la persona pudo venderlo a un precio de $110,000.00
• Si sabemos que la tasa de mercado es de 11%, ¿Fue conveniente la operación?.
• (Para poder resolver este tipo de problema es necesario comparar el ingreso de $110,000 a la fecha del primero de marzo en condicione similares de mercado)

Capítulo 2. Interés Simple

• Por tanto:
• C1 = $90,000
• M = $110,000
• i = 11% ó 0.11 anual simple
• t = 9 meses ó 9/12 = 0.75
• Sustituyendo los datos:
• C2 = 110,000 / (1 + 0.11 * 0.75)
• C2 = 110,000 / ( 1.0825 )
• C2 = $101,617
• Ahora bien la diferencia entre C2 y C1 es de $11,617.00 lo que significa que a la persona le convino haber adquirido el automóvil y deshacerse de él 9 meses después, que haber invertido su fondo en alguna institución porque financieramente hubiera dejado de ganar dicha cantidad.

Capítulo 2. Interés Simple

1. Resumen

• Interés Simple y sus componentes
• M = C + I
• i (anual) = i (plazo) / T * 360
• I = C * i * t
• VF = C * (1 + i * t )
• VP = M / (1 +i * t )

Capítulo 2. Interés Simple

1. Capítulo 3 INTERÉS COMPUESTO
2. Características

• Es utilizado en operaciones donde el Interés se van capitalizando , es decir, terminando un lapso de tiempo, éste se añade al Capital y se reinvierte
• Utilizando en operaciones con plazo mayores a un año

Capítulo 3. Interés Compuesto

1. Componentes Capítulo 3. Interés Compuesto Sigla Definición Descripción M Monto Capital más intereses generados al final del intervalo de tiempo. C Capital Inicial Cantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período I Interés Rendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial i Tasa de interés Relación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo. Período de Capitalización Lapso de reinversión de intereses (Anual, semestral, trimestral, bimestral, etc.) Frecuencia de Conversión Número de veces que el interés se capitaliza durante un año. t Plazo Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días.
2. Puntos a considerar

• La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. )
• A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera que su capitalización es anual.
• La tasa de interés anual siempre debe convertirse de acuerdo al período de capitalización establecido.
• El interés compuesto es mayor al interés simple.
• A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal.

Capítulo 3. Interés Compuesto

1. Funcionamiento Capítulo 3. Interés Compuesto Capital Intereses Fecha 0 Fecha 1 Monto 1 Capital Intereses Monto 2 Monto 1 Fecha 2 Período de capitalización 2 Frecuencia de Conversión = 2 Período de capitalización 1

• ¿Cuál es la tasa de interés por período de:

• 60% anual capitalizable mensualmente?:
• i = 60% anual / 12 meses = 5%
• 36% semestral capitalizable trimestralmente?:
• i = 36% semestral / 2 trimestres = 18%
• 12% trimestral? : i = 12%
• 15% anual?: i = 15% anual / 1 año = 15%
• 18% anual capitalizable semestralmente?:
• i = 18% anual / 2 semestres = 9%
• 18% anual capitalizable mensualmente?:
• i = 18% anual / 12 meses = 1.5%
• 6.5% mensual? : i = 6.5%

Ejercicios sobre Período de capitalización y frecuencia de conversión: Capítulo 3. Interés Compuesto

• ¿Cuál es la frecuencia de conversión?:

• 60% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año
• 36% semestral capitalizable trimestralmente?: 2 veces en 1 semestre
• 12% trimestral? : 4 veces en 1 año
• 15% anual?: 1 vez en un año
• 18% anual capitalizable semestralmente?: 2 veces en 1 año
• 18% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año
• 6.5% mensual? 1 vez al 1 mes

Capítulo 3. Interés Compuesto

1. Valor Futuro Características

• Al Monto se le van adicionando los intereses generados por cada período de tiempo contemplando la tasa de interés capitalizada
• Fórmula:
• M = C (1 + i * t)
• En este caso t = 1, ya que es un período, por lo que:
• M = C (1 + i )
• Ahora (1 + i ) representa cada período de capitalización, por lo que el Capital se verá afectado por cada uno de los períodos que dure la operación financiera es decir:

Capítulo 3. Interés Compuesto

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