Matematica Financiera

Matemática Financiera Carlos A. Martínez Zaragoza

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INTERES COMPUESTOS

Interés es un concepto que proviene del latín interesse (“importar”). En su aceptación económica o financiera, se refiere a la ganancia, el valor, el provecho o la utilidad de algo. En el mismo sentido, se trata del lucro que se produce mediante el capital.

En la práctica, el interés aparece como un índice expresado en porcentaje. Este índice permite estimar el costo de un crédito (“Me otorgaron el crédito hipotecario con un interés anual fijo del 20%”) o la rentabilidad del ahorro (“Mi caja de ahorro brinda un interés mensual del 0,25%”).

El interés, por lo tanto, señala cuánto dinero se obtiene o hay que pagar en un determinado periodo de tiempo. Un crédito de $10,000 dólares con un interés anual del 10% implica que la persona deberá devolver, cumplido dicho plazo, $11,000. De igual forma, un plazo fijo de $5,000 a un año, con un interés anual del 5%, brindará un beneficio de $250 dólares.

La noción de interés compuesto se refiere al beneficio (o costo) del capital principal a una tasa de interés durante un cierto periodo de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de cada periodo no se retiran, sino que se añaden al capital principal. Por lo tanto, los intereses se reinvierten.

En cambio, con un interés simple, los intereses producidos por el capital principal en un cierto periodo no se acumulan para generar los intereses que corresponden al siguiente periodo.

Por lo tanto, a diferencia del interés compuesto, el interés simple que produce el capital invertido será igual en todos los periodos mientras dure la inversión y la tasa y el plazo se mantengan sin variación.

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En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumentara en cada final de periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.

En forma más clara se observa el comportamiento del interés simple y compuesto en un gráfico. Con los valores anteriores pero llegando hasta 10 años, en la tabla anterior podemos ver los valores como cambian a partir del segundo años, lo cual hace del interés compuesto va variando con el tiempo.

Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

Función del Tiempo. El crecimiento es una variación proporcional a la cantidad presente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de los vegetales, las colonias de bacterias, los grupos de animales, etc. Estos crecimientos son funciones continuas del tiempo.

Periodo de Capitalización. Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar los intereses.

Tasa de Interés Compuesto. Es el interés fijado por periodo de capitalización.

Capitalización. El número de veces por año en que el interés pasa ha convertirse en capital, por acumulación.

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EJEMPLO

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos

Período de Conversión = 6 meses.

Frecuencia de Conversión = 2 veces al año

=

Entonces el número de períodos de conversión serían:

Número de Años *Frecuencia de Conversión; 5½ * 2 = 11 capitalizaciones.

La tasa de interés se expresa comúnmente en forma anual indicando, si es necesario, su período de capitalización.

28% anual capitalizable mensualmente.

20% anual capitalizable semestralmente.

14% anual capitalizable trimestralmente.

Si el interés se expresa sin mención alguna respecto a su capitalización, se entiende que ésta ocurre anualmente.

Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponde de acuerdo con el período de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente debe transformarse el interés anual a interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etc.

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VALOR FUTURO

Se define como el valor del capital final o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses

( )

El factor (1+i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.

Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

Utilizando la hoja de cálculo de Microsoft Excel debemos dirigirnos al símbolo de funciones de la barra de fórmulas, luego seleccionar en la categoría Funciones Financieras, y dentro del grupo selección la función VF, la cual nos pedirá la tasa de interés, período y el valor actual para el que deseamos calcular el valor futuro. Los demás componentes de la función los veremos más adelante.

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EJEMPLOS

Determinar los intereses y el capital final producido por $50,000 al 15% de interés durante 2 años.

Calcular el valor futuro al cabo de 20 años para una deuda de $4,000, al 9% de interés, con capitalización bimensual.

Se depositan $500 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?

Se contrata un préstamo bancario de habilitación y avío por $150,000. El plazo de pago es de 3 años. La tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente. ¿Cuál es la

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