PROGRAMACION LINEAL.

INTRODUCCION

     La programación lineal es una herramienta eficiente para hallar la producción optima o máxima de una empresa, en donde establecemos un límite para dar uso a los respectivos recursos de una compañía al momento de iniciar una productividad en donde debemos sacar la mejor utilidad del ejercicio.

El video  trata de un problema  de programación lineal primero quiero definir qué es y para qué sirve:

La programación lineal es una técnica utilizada para modelos matemáticos desarrollada a partir de la década 1930, desde entonces se ha aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisiones económicas, productivas planificación de las empresas e ingenierías.

El video no muestra  un problema en donde se debe demostrar la máxima ganancia  de la producción de la empresa el objetivo consiste en saber la utilidad  de esta y para ello realizamos un los siguientes:

En una fábrica de bicicletas metálicas y combinadas con madera, utiliza 3 procesos en su producción: cerrajería, carpintería y pintura, cada proceso requiere 72, 50 y 40 horas respectivamente, producir una biblioteca metálica requiere 3 horas de cerrajería, 1 hora de carpintería y 1.5 horas de pintura, la biblioteca combinada de madera requiere de 1 hora de cerrajería, 2 horas de carpintería y 1 hora de pintura. Si la utilidad que produce una biblioteca metálica es de $50 dólares y una combinada de madera es de $80 dólares, entonces la pregunta es: ¿Cuántas bibliotecas debe producir la fábrica para generar la máxima ganancia?

[pic 1]

Entonces aquí en la tabla he organizado la información que nos dan organizada de la siguiente forma coloque la primera columna el proceso que sería la cerrajería, carpintería y la pintura, el ultimo pues  vamos a hablar de la utilidad que es el objetivo pues del ejercicio y es llamado (x) a la biblioteca metálica y  las horas que requiere ese proceso  es de 3 horas en la cerrajería 1 hora en carpintería y 1.5 horas de pintura, la biblioteca combinada con madera la llame (y) y requiere 1 hora de cerrajería,  2 horas de carpintería y 1 hora de pintura, las horas disponibles para la cerrajería son de 72 horas para carpintería serian 50 horas y para pintura serian 40 horas dice que la utilidad que produce una biblioteca metálica sería de 50 dólares y una biblioteca combinada con madera seria de 80 dólares, entonces aquí e organizado nuestra función objetivo pues que sería la utilidad recuerden que llamamos (x) a la biblioteca metálica y (y) a la biblioteca combinada con madera (z=50x+80y). las restricciones pues son las horas se deben colocar con signo menor e igual porque no nos podemos pasar de esa hora esa es la restricción que tenemos entonces hay están las tres restricciones ( 3x+y _<  72; x+2y_< 50; 1.5x+y_< 40) y hay que tener en cuenta que hay una condición de no negatividad ya que los valores de X y Y deben de ser mayores que 0, luego el proceso lo que hay que hacer es convertir estas restricciones que son semiplanos en un plano cartesiano las llevamos a rectas para poderlas graficar más fácilmente, en el caso de la utilidad nosotros podemos darle cualquier valor a Z  con el objetivo de graficar en el plano cartesiano, quero decir que la utilidad podemos graficarla con cualquier valor y siempre va a tener la misma pendiente esta recta se conoce como índice de utilidad porque siempre van a producir la misma recta con la misma pendiente y la podemos hablar entre el plano siempre respetando pues esa pendiente, entonces para el ejemplo pues e calculado que para Z  lo podemos dejar en 3000 aquí pues presento la ecuación de la utilidad (3000= 50x+80y),  para las restricciones he convertido las restricciones en rectas, entonces simplemente se convierte una restricción que es un semi- Plano, en una recta siempre colocando el signo igual (=),

[pic 2]

Para solucionar nuestro problema pues hay que graficar y para ello ya existe pues el software gratuitos que podemos utilizar en este caso voy a utilizar el software de geogebra es un software muy amigable, es muy pedagógico y nos va ayudar a solucionar la situación problema entonces simplemente en la parte dice entrada  vamos a colocar la restricciones vamos a empezar  con la primera restricción que decía que era 3x+y colocamos el signo igual y decía que el numero daba 72 e implementamos enter.

Si fijamos si es que el plano aquí aparece la recta por lo tanto el plano lo podemos manejar para que se visualice mucho mejor, podemos también correr la escala vamos a graficar la siguiente restricción que decía que era x+2y igual a 50.

La otra restricción que será 1,5x+y dice que esto debe ser igual a 40 y simplemente damos enter y aquí nos aparece nuestra tercera ecuación o nuestra tercera recta entonces simplemente aquí va a utilizar unos puntos que está en esta herramienta para señalar el  sector que nos interesa, señala los puntos (4) y con esta herramienta va a señalar la región factible, esta herramienta me ayuda realizar una sombra a esta región factible, esta es donde están nuestras posibles soluciones pero la que nos da exactamente seria graficar la función objetivo que la función objetivo recuerden que habíamos dado un valor de 3000 a Z ya lo habíamos previamente calculado para qué, pero yo le puedo dar cualquier valor de Z y geogebra  me va a permitir desplazar esta recta para poder encontrar el punto máximo, entonces el punto máximo tiene que ser cuando desplacemos la ecuación optima la ecuación de utilidad la hacemos de arriba hacia abajo para poder encontrar el máximo si en una gráfica quisiéramos encontrar el mínimo entonces tendríamos que desplazarla de abajo hacia arriba y os daría el punto de donde  sea producido el mínimo.

...