Diagramas

En matemática, y especialmente en teoría de categorías, un diagrama conmutativo es un diagrama de objetos (también conocidos como vértices) y morfismos (también conocidos como flechas o aristas) tales que todas las rutas directas en el diagrama con los mismos puntos finales conducen al mismo resultado por composición. Los diagramas conmutativos juegan un papel fundamental en teoría de categorías al igual que las ecuaciones lo hacen en álgebra.

Nótese que un diagrama puede ser no conmutativo, por ejemplo la composición de diferentes rutas en el diagrama puede no dar el mismo resultado. Para clarificar, frases como «este diagrama conmutativo» o «el diagrama conmuta» pueden ser usadas.

Contenido [ocultar]

1 Ejemplos

1.1 Símbolos

2 Verificación de conmutatividad

3 Diagrama de caza

4 Diagramas como funtores

5 Véase también

6 Enlaces externos

[editar]Ejemplos

En el siguiente diagrama se expresa el primer teorema de isomorfía, conmutativamente significa que :

A continuación se muestra un cuadrado conmutativo genérico, en el cual

[editar]Símbolos

En los textos de álgebra, el tipo de morfismos puede ser denotado mediante el uso de diferentes flechas: monomorfismos con una , epimorfismos con una , e isomorfismos con una . La flecha a trazos típicamente representa la afirmación de que el morfismo indica que existe cada vez que el resto del esquema se cumple. Esto es bastante común que los textos a menudo no expliquen el significado de los diferentes tipos de flechas.

[editar]Verificación de conmutatividad

Conmutatividad da sentido a un polígono de cualquier número finito de caras (incluso únicamente 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.

[editar]Diagrama de caza

El diagrama de caza es un método de demostración matemática usado especialmente en álgebra homológica. Dado un diagrama conmutativo,una demostración mediante cacería de diagramas implica el uso formal de las propiedades del diagrama, tales como los mapas injectivos o suprayectivos, o sucesiones exactas. Un silogismo es construido, para el cual la representación gráfica del diagrama es sólo una ayuda visual. De aquí se deduce que uno termina por "cazar" elementos en torno al diagrama, hasta que el elemento o resultado deseado es construido o verificado.

Ejemplos

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