El concepto de vector para estudiar la magnitud, la dirección y el sentido de las cantidades físicas

Cantidades escalares y vectoriales

En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, la dirección y el sentido de las cantidades físicas.

Algunas cantidades físicas pueden describirse totalmente con un número y una unidad, éstas son las magnitudes escalares.

Por definición, una magnitud escalar es aquella que se establece con sólo indicar su cantidad expresada en números y las unidades de

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medida. Son ejemplos claros de unidades escalares 5m y 60 s.

Las vectoriales son otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente la dirección y el sentido en que actúan. Una magnitud vectorial de 10 km./s hacia el norte indica la velocidad de un cuerpo y su dirección.

Una magnitud vectorial se define por su sistema de referencia, la magnitud la dirección y el sentido, y se representa gráficamente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizarla, se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define, por ejemplo: el vector velocidad se

representa como v .

El vector v representa las características que tiene, tales como: el sistema de referencia en el punto A; la dirección 30 ° de inclinación; el sentido lo da la punta del vector, y la magnitud corresponde a 40 km/h.

Representación de un vector

La magnitud de un vector se establece de acuerdo con su tamaño; por ejemplo, si desea representar en el pizarrón un vector fuerza de 100 N, con la dirección horizontal y el sentido positivo, se puede usar una escala de 10 cm. que sea igual a 10 N; así con sólo medir y trazar una línea de 100 cm. Y el vector estará representado.

Pero en una libreta o en papel milimétrico esta escala sería muy grade por lo que es más recomendable una escala de 1 cm. igual a 10 N; para que al medir 10 cm, esté representado el vector de la siguiente manera:

Escala: 1 cm. = 10 N F = 100 N (longitud del vector: 10 cm.)

SISTEMA DE VECTORES

Vectores coplanares y no coplanares

Los vectores pueden clasificarse en coplanares, cuando se encuentran en el mismo plano, y no coplanares, si están en diferentes planos. ( véase figura siguiente).

a) Vectores coplanares b) Vectores no coplanares

Sistema de vectores colineales

Los vectores son colineales cuando se encuentran en la misma dirección o línea de acción. ( véase siguiente figura)

Los vectores F1 y F2 están en la misma línea de acción porque son colineales.

Cuando se consideran los ejes cartesianos como sistema de referencia, los vectores colineales (sobre la misma línea) son positivos si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba, y negativos cuando su sentido es hacia la izquierda o hacia a bajo.

Sistema de vectores concurrentes

El sistema de vectores es concurrente cuando agrupa varios vectores en un punto, el punto de cruce, que es el punto coincidente del sistema (véase siguiente figura )

Los vectores F1 F2 y F3 son concurrentes en el punto P.

Resultante y equilibrante de un sistema de vectores

La resultante de un sistema de vectores es el único, es decir, el que produce el mismo efecto que todos los demás vectores del sistema.

La equilibrante es un vector contrario a la resultante que tiene un valor igual a ésta. Por lo tanto, la resultante y la equilibrante de un sistema vectorial tiene la misma magnitud y dirección pero su sentido es contrario

La resultante y la equilibrante

Propiedades de los vectores.

Una característica especial de los vectores es su misma línea de acción y que su efecto no varía

Propiedad de transmisibilidad

Cuando los vectores se trasladan paralelamente (véase siguiente figura), sus propiedades no cambian, tan sólo se desplazan.

Dirección de un vector

La dirección de un vector puede darse con referencia a las direcciones convencionales de los puntos cardinales: norte, sur, este, oeste. Por ejemplo, la figura siguiente muestra vectores desplazamiento A = 20 m dirección este, y B = 40 m dirección sureste.

Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación de un vector.

Los ejes cartesianos son una referencia importante para situar los vectores. Las líneas perpendiculares imaginarias son el eje X, que es la horizontal, y el eje Y, que es la vertical.

Los vectores A y B muestran la dirección de cada uno de ellos así como su magnitud.

Las direcciones de los vectores se dan mediante ángulos medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj y a partir de la posición del eje X positivo (véase las siguientes figuras)

Los ejes cartesianos como ejes de referencia

Los vectores 40 N a 60° y 50 N a 210 °

OPERACIONES CON VECTORES

Suma de vectores

Cuando se necesita sumar dos o más magnitudes escalares de la misma especie se hace aritméticamente. Por ejemplo

10 s + 19 s = 29 s. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales – que como ya se mencionó, tienen magnitud, dirección y sentido – se deben utilizar métodos más complejos que una simple suma aritmética. Estos pueden ser gráficos o analíticos, pero en ambos casos es preciso considerar, además de la magnitud del vector, su dirección y sentido.

Método del triangulo rectángulo

Para sumar dos vectores, se deben dibujar de tal manera que el origen de uno coincida con el extremo del otro. Así, el vector suma se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo libre del segundo.

El ejemplo usual para entender la suma de vectores de este tipo es el desplazamiento de un vehículo en línea recta que cambia de dirección al llegar a otro punto después de cierto tiempo. Por ejemplo, un auto que parte del punto A, se desplaza hacia el norte 40 Km. y llega al punto B; desde ese punto cambia su dirección hacia el este desplazándose 30 Km. hasta que llega al punto C ¿ Cuál será la resultante y la dirección del vector suma ?

Cuando dos vectores dados se sumen, y al efectuar la suma vectorial éstos formen un triángulo, se hará uso del teorema de Pitágoras para calcular analíticamente la magnitud resultante R: “ Para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

El teorema de Pitágoras se representa algebraicamente de la siguiente manera:

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