El cálculo

En matematicas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3....

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si noexiste o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

4.1.1 Serie Finita

Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,....

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.

4.1.2 Series Infinitas

Si es una sucesión y

Entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números son los términos de la serie infinita.

4.2 Series Numericas y Convergencias

Carácter de una serie.

• Convergente: Cuando la suma es un número real.

• Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.

• Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 +.....+ arn-1 + arn + arn+1

• |R| < 1 Serie convergente

• R £ -1 Serie oscilante

• R ³ 1 Serie divergente

Propiedades generales de las series numéricas

• å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0

• Si å an es divergente no podemos saber nada.

• Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

Condición necesaria para la convergencia: Sea : å an

Calculamos :

• Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema)

• Si k ¹ 0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo términos positivos

• Teorema 1: Toda serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.

• Teorema 2: Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carácter de la serie, ni varía su suma.

Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :

• Si k < 1 la serie converge (Fin)

• Si k > 1 la serie diverge (Fin)

• Si k = 1 no sabemos (Continuar)

• Funciona con : ( )n , ( )p(n)

Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :

• Si k < 1 la serie converge (Fin)

• Si k > 1 la serie diverge (Fin)

• Si k = 1 no sabemos (Continuar)

• Funciona con: kn , n ! , Semifactoriales ( 1•3•5 • • • • • (2n+1)).

Criterio de Raabe. Calculamos :

• Si k < 1 la serie diverge (Fin).

• Si k > 1 la serie converge (Fin).

• Si k = 1 no sabemos (Continuar).

• Funciona cuando el criterio de la raíz o el cociente sale 1

Criterio del Logaritmo. Calculamos :

• Si k < 1 la serie diverge (Fin).

• Si k > 1 la serie converge (Fin).

• Si k = 1 no sabemos (Continuar).

Nota: El logaritmo puede estar en cualquier base.

Criterio de comparación. Sea : å an £ å bn

• Si å an diverge entonces å bn diverge.

• Si å bn converge entonces å an converge.

Criterio de comparación por paso al límite.

Buscamos el carácter de å an y sabemos el carácter de å bn. Entonces :

• Si k ¹ 0 y k ¹ ∞ entonces ambas series tienen el mismo carácter.

• Si k = 0 y si å bn converge entonces å an converge.

• Si k = ∞ y si å bn diverge entonces å an diverge.

Series de comparación

• S. Geométrica : a + a r + a r2 + a r3 + ... + a rn

• Si |r| < 1 serie convergente

• Si |r| ³ 1 serie divergente

• S. Armónica general : 1/(1p)+ 1/(2p) + 1/(3p) +....+1/(np)

• Si p > 1 serie convergente

• Si p £ 1 serie divergente

Criterio de Prinsheim : Calculamos :

• Si a > 1 la serie converge

• Si a £ 1 la serie diverge

Nota : Criterio de comparación con la serie armónica general camuflado

Convergencia de series con términos cualesquiera

• Sea: å an . Estudiamos : å |an| y å an

• Si å |an| converge (sus términos son positivos) decimos que å an converge absolutamente y que, por lo tanto, converge (Fin)

• Si å |an| diverge entonces

...