El cálculo

En matematicas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i=1,2,3....

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si noexiste o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

4.1.1 Serie Finita

Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,....

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.

4.1.2 Series Infinitas

Si es una sucesión y

Entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números son los términos de la serie infinita.

4.2 Series Numericas y Convergencias

Carácter de una serie.

• Convergente: Cuando la suma es un número real.

• Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.

• Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 +.....+ arn-1 + arn + arn+1

• |R| < 1 Serie convergente

• R £ -1 Serie oscilante

• R ³ 1 Serie divergente

Propiedades generales de las series numéricas

• å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0

• Si å an es divergente no podemos saber nada.

• Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

Condición necesaria para la convergencia: Sea : å an

Calculamos :

• Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema)

• Si k ¹ 0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo términos positivos

• Teorema 1: Toda serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.

• Teorema 2: Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carácter de la serie, ni varía su suma.

Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :

• Si k < 1 la serie converge (Fin)

• Si k > 1 la serie diverge (Fin)

• Si k = 1 no sabemos (Continuar)

• Funciona con : ( )n , ( )p(n)

Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :

• Si k < 1 la serie converge (Fin)

• Si k > 1 la serie diverge (Fin)

• Si k = 1 no sabemos (Continuar)

• Funciona con: kn , n ! , Semifactoriales ( 1•3•5 • • • • • (2n+1)).

Criterio de Raabe. Calculamos :

• Si k < 1 la serie diverge (Fin).

• Si k > 1 la serie converge (Fin).

• Si k = 1 no sabemos (Continuar).

• Funciona cuando el criterio de la raíz o el cociente sale 1

Criterio del Logaritmo. Calculamos :

• Si k < 1 la serie diverge (Fin).

• Si k > 1 la serie converge (Fin).

• Si k = 1 no sabemos (Continuar).

Nota: El logaritmo puede estar en cualquier base.

Criterio de comparación. Sea : å an £ å bn

• Si å an diverge entonces å bn diverge.

• Si å bn converge entonces å an converge.

Criterio de comparación por paso al límite.

Buscamos el carácter de å an y sabemos el carácter de å bn. Entonces :

• Si k ¹ 0 y k ¹ ∞ entonces ambas series tienen el mismo carácter.

• Si k = 0 y si å bn converge entonces å an converge.

• Si k = ∞ y si å bn diverge entonces å an diverge.

Series de comparación

• S. Geométrica : a + a r + a r2 + a r3 + ... + a rn

• Si |r| < 1 serie convergente

• Si |r| ³ 1 serie divergente

• S. Armónica general : 1/(1p)+ 1/(2p) + 1/(3p) +....+1/(np)

• Si p > 1 serie convergente

• Si p £ 1 serie divergente

Criterio de Prinsheim : Calculamos :

• Si a > 1 la serie converge

• Si a £ 1 la serie diverge

Nota : Criterio de comparación con la serie armónica general camuflado

Convergencia de series con términos cualesquiera

• Sea: å an . Estudiamos : å |an| y å an

• Si å |an| converge (sus términos son positivos) decimos que å an converge absolutamente y que, por lo tanto, converge (Fin)

• Si å |an| diverge entonces puede ocurrir que:

• å an converge. Se dice que la serie converge condicionalmente.

• å an diverge. La serie es incondicionalmente divergente.

• En toda serie absolutamente convergente se puede alterar arbitrariamente el orden de los términos sin que altere su suma.

• En toda serie es absolutamente convergente que tenga valores positivos y negativos la serie de términos positivos y la serie de términos negativos serán convergentes por separado.

Teorema de Leibniz : una serie alternada es convergente si se cumple las siguientes condiciones :

• Es monótona decreciente en valores absolutos y

• El limite en el infinito es 0 (Lim an = 0)

Criterio de Dirichet (Para series alternadas) Dado å an = å bn cn

• å an converge si se cumplen las siguientes condiciones, de no cumplirse es divergente :

• Si bn está totalmente acotada y

• {cn} una sucesión monótona decreciente que convergen en 0

Criterio de Abel. Dado å an = å bn cn, entonces å an converge si :

• å bn de números reales, converge.

• {cn} es una sucesión monótona decreciente y acotada.

Operaciones con series

• Dadas å an y å bn convergentes de sumas a y b respectivamente entonces se verifica que : å an ± bn es también convergente y su suma es : a ± b.

• Sea la serie å pn formada por :

pn = a1 bn + a2 bn-1 + a3 bn-2 + ..... + an-2 b3 + an-1 b2 + an b1 La serie así definida en la que å an y å bn son convergentes y una al menos es absolutamente convergente, en ese caso la serie å pn es convergente y su suma es a•b.

4.3 Serie de Potencias

Hemos visto anteriormente los criterios de convergencia para series de números reales positivos o alternados. Utilizando toda esta riqueza analítica vamos a ocuparnos de investigar el comportamiento de una serie de funciones, en particular, de potencias, cuya convergencia va a depender del valor de la variable x. Es así como podremos introducir el concepto de radio de convergencia R. Dentro del intervalo (-R, R) la serie será convergente, fuera, divergente, y en los puntos de frontera, es decir, en x=-R e y=R, deberemos estudiar las series numéricas asociadas a estos dos puntos para determinar la convergencia o divergencia de la serie de potencias en ellos.

En ella ilustramos la utilidad de las series de potencias para el cálculo de la suma de series numéricas. Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma analítica conozcamos, podemos llegar a una expresión que, por substitución de la variable, corresponda a la serie numérica cuya suma buscamos. De esta forma podemos conseguir determinar la suma numérica indirectamente. Estas operaciones de derivación e integración sólo son posibles dentro del radio de convergencia de las serie de potencias. Aquí radica la importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.

Una serie del tipo:

Ordenada por potencias enteras crecientes de la variable “x” y con coeficientes constantes, independientes de x, recibe el nombre de serie de potencias.

A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

Sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente.

4.4 Radio de Convergencia

Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un valor numérico particular a la variable x, se obtiene una serie que convergirá o divergirá dependiendo del valor de la x.

Vamos a demostrar que para cualquier serie de potencias existe un número finito o infinito r llamado radio de convergencia de la serie tal que si r > 0, entonces para x < r la serie converge y para x > r, la serie diverge. Para x = r, es decir, para x = r y x = −r, la serie converge o diverge. El intervalo abierto ]− r, r[ recibe el nombre de intervalo o círculo de convergencia de la serie de potencias considerada. Si r = ∞, el intervalo de convergencia es toda la recta real. Por el contrario, si r = 0, la serie de potencias converge sólo en el punto x = 0 y, hablando rigurosamente, no hay intervalo de convergencia.

En muchos casos podemos determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias con la ayuda del criterio de convergencia de d’Alembert. A dicho efecto, construimos —en primer lugar— la serie compuesta por los valores absolutos de los términos de la serie, que

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