Parábola (matemática)

Parábola (matemática)

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.nota 1 Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,nota 2 y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

¿cuales son los usos cotidianos de la parabola?

En antenas es ampliamente utilizada esa forma de curva debido a que tiene la cualidad de concentrar en un solo punto (foco) las señales para así aumentar la sensibilidad y poderlas captar a pesar de ser estas débiles. También se presenta en astronomía en las trayectorias de los planetas, también se usa en la capa reflejante de los reflectores donde la luz del foco que se irradia hacia todas direcciones sea dirigida hacia una sola dirección

PROPIEDADES

CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA POR PUNTOS:

Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vértice V es el punto medio del segmento AF.

Se trazan varias perpendiculares al eje, del vértice a la derecha.

Con centro en F y radio A1=r, se corta a dicha perpendicular, obteniendo el punto P y su simétrico, que son puntos de la curva; se obtiene así r= PF = PN, según la definición de la curva.

Esta operación se repite para obtener nuevos puntos que se unen con plantilla de curvas.

TRAZADO DE LA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO M DE LA PARÁBOLA:

La tangente t en un punto M de la parábola es la bisectriz de los radios vectores MN y MF; la normal n es perpendicular a la tangente

Imagen

ECUACIONES

Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Prueba geométrica de la relación y=ax2.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:

.

Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

.

Usando nuevamente los paralelismos:

.

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

.

Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .

Ecuación involucrando la distancia focal

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera

...