Taller De Recuperacion-mayra Alejandra Aley Martinez

SEMANA 1 LÍMITES.

INTRODUCCIÓN

E

l presente contenido desarrolla la idea intuitiva de límite, mediante el análisis de gráficas que muestren el comportamiento cuando se aproxime a un número por la izquierda y por la derecha, el cálculo analítico de límites, propiedades, técnicas de cancelación y racionalización, límites que no existen, continuidad y límites laterales, definición de continuidad y propiedades.

LIMITES Y CONTINUIDAD

Newton expreso que el límite era el concepto básico del cálculo, pero fué tarea de matemáticos posteriores, como Cauchy, aclarar sus ideas acerca de los límites

La noción de límite es fundamental en el estudio del cálculo, es por ello que el problema de la recta tangente y el problema del área ilustran la forma como intervienen los límites en el cálculo.

PROBLEMAS DE LA RECTA TANGENTE y LA VELOCIDAD

Problema de la tangente

La palabra tangente proviene de la palabra latina tangens, la cual significa tocar. De este modo, una tangente a una curva es una recta que toca a esta última.

Para un circulo podríamos seguir la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que interseca ese circulo una vez y solo una. Para curvas mas complicadas esta definición no encaja

Miremos nuestro problema así, se da una función f y un punto P de su gráfica y se pide hallar la una ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P.

Observemos la figura 1 Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce al de hallar su pendiente en ese punto. Podemos aproximar la pendiente de la recta tangente usando una recta secante que pasa por los punto P y otro punto cercano Q

El punto de tangencia esta dado por P(c, f( c)) y por Q(c + x, f(c + x,)), que es el segundo punto en la gráfica f, la pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos viene dada por

FIG 1

Problema de la velocidad

Si observamos el velocímetro de un automóvil viajar en el tráfico de una ciudad, puede verse que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es constante, entonces suponemos que el automóvil tiene una velocidad definida en cada momento.

Un ejemplo clásico de velocidad instantánea es el de una pelota que cae desde una plataforma de observación 450 metros arriba del suelo. Encontrar la velocidad de la pelota después de 5 segundos

Este problema se resuelve con hecho descubierto por Galileo hace casi 4 siglos, de que la distancia recorrida por cualquier cuerpo que cae libremente es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo, despreciando la resistencia del aire. La ley de Galileo se expresa así:

s( t )= 4.9t2

La dificultad para hallar la velocidad después de 5( t = 5) de modo que no interviene un intervalo.. Pero podemos tener una aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante un breve intervalo de un decimo de segundo, desde t = 5 hasta t = 5.1 segundos.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Luego de ver como surgieron los limites cuando calculábamos la tangente a una curva o la velocidad de un objeto, miremos los métodos para calcularlos

Dibujemos la gráfica dada por f(x)=-x2+ 2x+2 , Fig. 2 y varios puntos cercano a x =4.

Para obtener una idea del comportamiento de la gráfica f cerca de x =4, podemos usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a 4 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha, hagamos una tabla de dichos valores.

x tiende a 4 por la izquierda x tiende a 4 por la derecha

x 3.99 3.99 3.999 4.00 4.001 4.01 4.1

F(x) -5.4100 -5.9401 -5.9940 ? -6.0060 -6.0601 -6.6100

f(x) tiende a –6 f(x) tiende a –6

Fig. 2

La gráfica es una parábola. X no puede ser igual a 4, pero podemos acercarnos arbitrariamente a su valor por la izquierda y por la derecha y, como resultado obtenemos que f(x) se acerca arbitrariamente a –6, esto se escribe

. Esto se lee “ limite de f(x) cuando x tiende a 4 es –6

Esto nos conduce a una descripción informal o intuitiva de límite.

DEFINICIÓN INTUITIVA

La noción de que f(x) tiende al número L cuando x tiende al número c se define de la manera siguiente:

Si f(x) puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L, tomando a x suficientemente cercano pero distinto del número c, tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho de c, Esto se escribe

Se usará la notación xc- para denotar que x tiende a c por la izquierda y xc+ para expresar que x tiende a c por la derecha. De este modo si los limites unilaterales y tienen un valor común L

=

se dice entonces que existe y se escribe

Miremos algunos comportamientos de una función cuando el límite no existe

• f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda

El límite no existe

Fig. 3

• f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c

el limite no existe

Fig. 4

• f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c

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