Documentacion Lab1 AED

Contexto problemático:

La compañía que ocupa el primer lugar en la categoría de bases de datos Oracle Corporation, especializada en el desarrollo de soluciones de nube y locales requiere encontrar las raíces de un polinomio.

Desarrollo de la solución:

Para resolver el caso problemático anterior se eligió el Método de la Ingeniería del libro “Introduction to Engineering” de Paul Wright.

Los pasos para conseguir el desarrollo de la solución se describen en el siguiente diagrama de flujo.

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Paso 1. Identificación del problema:

El problema que nos presenta el cliente es encontrar las raíces de un polinomio, ya que esta funcionalidad puede ser de gran ayuda para estudiantes de ingeniería y de aquí se deriva:

• Ofrecer mínimo dos algoritmos para encontrar las raíces de los polinomios.
• Generar aleatoriamente polinomios hasta de grado 10.
• Poder encontrar las raíces de los polinomios ingresados y generados aleatoriamente.

Paso 2. Recopilación de información:

Para poder dar solución al problema, primero debemos entrar en materia con el tema pedido como requerimiento, en este caso, las raíces de un polinomio, recopilamos la siguiente información con el fin de aclarar todas las dudas propuestas por nuestro grupo de trabajo respecto al caso problemático:

Expresión algebraica:

Cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones.

Clasificación de las expresiones algebraicas:

• Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
• Polinomio: En matemáticas, un polinomio (del latín polynomium)​ es una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos llamados coeficientes), o bien una sola variable. Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. En términos más simples, un polinomio se toma como una suma de monomios, pero un monomio también se toma como un polinomio.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

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(Ejemplo y representación gráfica de un polinomio)

Valor numérico de una expresión algebraica:

Si en una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas, el valor resultante (si existe) recibe el nombre de valor numérico de la expresión algebraica.

Grado de un monomio:

Se denomina grado de un monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponentes enteros no negativos), a la suma de los exponentes de las variables que contengan.

Grado de un polinomio:

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los términos (monomios) que lo componen.

Raíces de un polinomio:

Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero (Valor numérico de la expresión algebraica sea igual a cero). Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualándolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio.

Notas interesantes:

• Un polinomio tiene tantas raíces como su grado lo indique.
• Las raíces complejas de un polinomio se presentan de a pares.
• Un polinomio puede no poseer raíces reales.

Fuentes:

https://www.ecured.cu/Expresi%C3%B3n_algebraica

https://www.ecured.cu/Polinomio

https://matematica.laguia2000.com/general/raices-de-un-polinomio

https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

Paso 3. Búsqueda de soluciones creativas:

En este paso, visitamos varios sitios web con mucha información donde encontramos varias alternativas que de una u otra forma dan solución al problema, estas son:

Alternativa 1:

Método de la bisección: Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano que consiste en partir de un intervalo [] tal que  < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.[pic 3][pic 4]

Alternativa 2:

Método de las aproximaciones sucesivas o punto fijo: Dada la ecuación , el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente,    , definida en la forma . Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial  y calculamos una nueva aproximación . Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores {}, que si converge, tendrá como límite la solución del problema.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Alternativa 3:

Método de Newton-Raphson: Este método parte de una aproximación inicial  y obtiene una aproximación mejor  dada por la fórmula . La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo de serie de Taylor. El método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir,  se reemplaza por una recta tal que contiene al punto  y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la raíz, , se obtiene de la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Alternativa 4:

Método de la secante: El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión . En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.[pic 18]

Alternativa 5:

Método de Steffensen: El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere, como en el caso del método de la secante, la evaluación de derivada alguna. Presenta, además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita un punto inicial. Este método calcula el siguiente punto de iteración a partir de la expresión .[pic 19]

Alternativa 6:

Método de la falsa posición: El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz , es decir, dos puntos  y  tales que . La siguiente aproximación, , se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [] y [], se toma aquel que cumpla . La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método. Por otra parte, y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Alternativa 7:

Algoritmo de Horner: Método numérico debido al británico W.G. Horner (1786-1837) que, a base de aproximaciones sucesivas, permite calcular las soluciones reales de cualquier ecuación algebraica con coeficientes reales, con tanta aproximación como se desee. Estos son los procedimientos de este algoritmo:

• Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
• Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
• El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.
• Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
• Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo término del cociente.
• Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
• Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
• Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Alternativa 8:

Regla de Ruffini: En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de división sintética (una división de polinomios en donde el divisor es un factor lineal). El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite así mismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma  (siendo r un número entero) si es coherente.[pic 28][pic 29]

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