Documentacion Lab1 AED

Contexto problemático:

La compañía que ocupa el primer lugar en la categoría de bases de datos Oracle Corporation, especializada en el desarrollo de soluciones de nube y locales requiere encontrar las raíces de un polinomio.

Desarrollo de la solución:

Para resolver el caso problemático anterior se eligió el Método de la Ingeniería del libro “Introduction to Engineering” de Paul Wright.

Los pasos para conseguir el desarrollo de la solución se describen en el siguiente diagrama de flujo.

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Paso 1. Identificación del problema:

El problema que nos presenta el cliente es encontrar las raíces de un polinomio, ya que esta funcionalidad puede ser de gran ayuda para estudiantes de ingeniería y de aquí se deriva:

• Ofrecer mínimo dos algoritmos para encontrar las raíces de los polinomios.
• Generar aleatoriamente polinomios hasta de grado 10.
• Poder encontrar las raíces de los polinomios ingresados y generados aleatoriamente.

Paso 2. Recopilación de información:

Para poder dar solución al problema, primero debemos entrar en materia con el tema pedido como requerimiento, en este caso, las raíces de un polinomio, recopilamos la siguiente información con el fin de aclarar todas las dudas propuestas por nuestro grupo de trabajo respecto al caso problemático:

Expresión algebraica:

Cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones.

Clasificación de las expresiones algebraicas:

• Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
• Polinomio: En matemáticas, un polinomio (del latín polynomium)​ es una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos llamados coeficientes), o bien una sola variable. Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. En términos más simples, un polinomio se toma como una suma de monomios, pero un monomio también se toma como un polinomio.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

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(Ejemplo y representación gráfica de un polinomio)

Valor numérico de una expresión algebraica:

Si en una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas, el valor resultante (si existe) recibe el nombre de valor numérico de la expresión algebraica.

Grado de un monomio:

Se denomina grado de un monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponentes enteros no negativos), a la suma de los exponentes de las variables que contengan.

Grado de un polinomio:

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los términos (monomios) que lo componen.

Raíces de un polinomio:

Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero (Valor numérico de la expresión algebraica sea igual a cero). Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualándolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio.

Notas interesantes:

• Un polinomio tiene tantas raíces como su grado lo indique.
• Las raíces complejas de un polinomio se presentan de a pares.
• Un polinomio puede no poseer raíces reales.

Fuentes:

https://www.ecured.cu/Expresi%C3%B3n_algebraica

https://www.ecured.cu/Polinomio

https://matematica.laguia2000.com/general/raices-de-un-polinomio

https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

Paso 3. Búsqueda de soluciones creativas:

En este paso, visitamos varios sitios web con mucha información donde encontramos varias alternativas que de una u otra forma dan solución al problema, estas son:

Alternativa 1:

Método de la bisección: Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano que consiste en partir de un intervalo [] tal que  < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.[pic 3][pic 4]

Alternativa 2:

Método de las aproximaciones sucesivas o punto fijo: Dada la ecuación , el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente,    , definida en la forma . Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial  y calculamos una nueva aproximación . Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores {}, que si converge, tendrá como límite la solución del problema.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Alternativa 3:

Método de Newton-Raphson: Este método parte de una aproximación inicial  y obtiene una aproximación mejor  dada por la fórmula . La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo de serie de Taylor. El método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir,  se reemplaza por una recta tal que contiene al punto  y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la raíz, , se obtiene de la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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