Sistemas numericos

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ÍNDICE

1. Introducción:

En este archivo se realizarán diferentes ejercicios de los múltiples sistemas numéricos que hay.

1. Objetivo:

Reconocer la importancia de los sistemas numéricos: binario, octal y hexadecimal en las ciencias computacionales.

1. Marco Teórico:

SISTEMAS NUMERICOS

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn) * A donde:

b = valor de la base del sistema

n = número del dígito o posición del mismo A = dígito.

Por ejemplo:

Dígitos: 1 2 4 9 5 3 . 3 2 4

Posición 5 4 3 2 1 0 . ‐1 ‐2 ‐3

Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal.

Este sistema cuenta con conjuntos ordenados de símbolos llamados "dígitos", con relaciones definidas para:

• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División

La Base (r) del sistema representa el número total de dígitos permitidos, ejemplo:

• r = 2 Sist. Binario, dígitos: 0,1
• r = 10 Sist. Decimal, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
• r = 16 Sist. Hexadecima1, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Notación Posicional

Suponga que pide a su banco local un préstamo por ciento veintitrés yens y treinta y cinco centavos. El cheque que le dan indica la cantidad como Y/.123.35. Al escribir este número, se ha utilizado la notación posicional. El cheque puede billete de cien yens, dos billetes de diez yens, tres billetes de un yen, tres monedas de diez centavos y cinco monedas de un centavo. Por tanto, la posición de cada dígito indica su peso o significado relativo. En general, un número positivo N se puede escribir en notación posicional como:

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• Donde:        Ejemplos:

. = punto

r = base        * (123.45)10

n = # dígitos positivos        * (1001.11)2

m = # dígitos negativos        * (3A.2F)16 a‐1 = dígito más significativo

a‐m = dígito menos significativo

Valor Posicional:

En cualquier cantidad, los números tienen dos valores:

1. El valor absoluto de un número es el que tiene por su figura
2. El valor relativo depende del lugar que ocupa en la cantidad.

Por ejemplo, en la cantidad 84 379 561:

9000 como valor relativo 9 como valor absoluto

1. El valor posicional depende de la posición de un número determinado dentro del orden decimal. Por ejemplo, en los números de seis cifras, el primer número de izquierda a derecha indica las centenas de millar; el que le sigue, las decenas de millar; el siguiente, las unidades de millar y después siguen las centenas, las decenas y las unidades.

1. Sistema Numeración Decimal        

El sistema de numeración1 que se utiliza habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un

 valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo: 500 + 20 + 8 = 528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga, aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10‐1 + 7*10‐2, es decir:

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97[pic 7]

1. Sistema de Numeración Binario        

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

En un número entero binario el bit a la derecha es el bit menos significativo (LSB, Least Significant Bit) y tiene un peso de 20=1. El bit del extremo izquierdo el bit más significativo (MSB, Most Significant Bit) y tiene un peso dependiente del tamaño del número binario. Los pesos crecen de derecha a izquierda en potencias de 2. En números fraccionarios el bit a la izquierda de la coma es el MSB y su peso es de 2‐1= 0,5. Los pesos decrecen de izquierda a derecha.

Peso:2n‐1…2423222120, 2‐12‐22‐3        2‐n.

En el cual n es el número de bits a partir de la coma binaria. La siguiente tabla muestra la equivalencia de los números decimales del 0 al 15 a su correspondiente binario.

1. Sistema de Numeración Octal        

El sistema numérico octal o de base ocho es el sistema de numeración que utiliza ocho dígitos o símbolos (0‐7), correspondiendo el mayor al número 7, es decir, uno menor que el valor de la base (8). Cuando se cuenta en este sistema, la secuencia es desde 0 hasta 7. Las operaciones aritméticas son las mismas de cualquier sistema numérico. Los números octales se denotan mediante el subíndice 8

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