Acero. Unidad 5. Flexion

UNIDAD 5. FLEXION

1. Introducción

Se produce flexión en un elemento estructural cuando la carga tiene una componente transversal al eje axial del elemento. Si el efecto predominante es la flexión se dice que el elemento actúa como viga.

[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

V

1. (b)[pic 8][pic 9][pic 10]

y[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

F

         x        x

z

M

P

V

(c)

(d)[pic 15]

Figura 5.1 Diversos tipos de carga: (a) Flexión pura, (b) Cortante y flexión, (c) Cortante, flexión y Carga axial, (d) Fuerza axial, cortante, flexión en dos direcciones y torsión

1. Relaciones diferenciales entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante

Sea un trozo de viga cargada con distribución de carga de intensidad w(x) por unidad de longitud Consideremos un trozo de longitud Δx de esta viga

w(x)Δx[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

M(x)

M(x+Δx)

[pic 26]

V(x)[pic 27][pic 28]

Δx/2 Δx/2

V(x+Δx)

Figura 5.2 Viga cargada con fuerza distribuida

Equilibrio del trozo de viga

+↓ΣFy = 0        –V(x) + w(x)Δx + V(x + Δx) = 0 tomando límites cuando Δx→ 0

V (x + Δx) − V (x)

lim[pic 29]

Δx→0        Δx

+ w = 0

integrando entre A y B

dV  + w = 0        (5.1)

dx[pic 30]

∫ dV = VB − VA = −∫ w(x)dx = −[Area bajo la curva de carga entre A y B][pic 31]

xB

(5.2)

A        xA

ΣMa = 0:        +M(x)–M(x+Δx)+V(x) Δx/2+V(x+Δx) Δx/2 = 0 tomando límites cuando Δx→ 0

lim

M(x + Δx) − M(x)

[pic 32]

− V (x + Δx)

[pic 33]

− V (x) = 0

[pic 34]

Δx→0        Δx

Integrando

2        2

dM − V = 0        (5.3)[pic 35]

dx

∫ dM = MB − MA = ∫[pic 36]

V (x)dx = [Area bajo la curva de cortantes entre A y B]

(5.4)

A        x A[pic 37]

1. Funciones singulares

Utilizando las relaciones diferenciales e integrales dadas anteriormente las funciones de fuerza cortante V(x) y momento flexionante  M(x) pueden obtenerse manera relativamente rutinaria mediante la integración de de la función de carga w(x). Por supuesto que este proceso resulta fácil cuando la función de carga w(x) es factible de expresarla mediante funciones matemáticas integrables.

Cuando las cargas constituyen fuerzas y/o momentos concentrados o cuando la intensidad de la carga distribuida varía bruscamente el proceso indicado es muy penoso, a menos de que se disponga de procedimientos matemáticos especiales que permitan manejar las cargas discontinuas como si fueran continuas.

En esta sección se estudiará una familia de funciones especiales llamadas funciones singulares o funciones de discontinuidad especialmente pensadas para este propósito.

Estas funciones sirven para escribir en una sola expresión matemática las funciones discontinuas. Estas tienen un amplio uso en el análisis de sistemas eléctricos para la simulación y análisis de señales eléctricas discontinuas en el tiempo. También se utiliza en el análisis de ciertos problemas de física en electrostática, en mecánica de los fluidos y en simulaciones de pozos geotérmicos.

En nuestro caso se pueden utilizar para describir en forma compacta la carga aplicada a una viga cuando está constituida por fuerzas y/o momentos concentrados o con cambios bruscos en la intensidad una carga distribuida.

La familia de funciones se representa por mediante

fn(x) = < x – a >n        (5.5)

y se definen como se indica a continuación

1. para n ≥ 0

⎧0

f n (x) = ⎨

⎩(x − a)n

x − a < 0

x − a > 0

(5.6)

de modo que los paréntesis angulares indican que la función se anula si la cantidad encerrada entre ellos es negativa y se comportan como paréntesis ordinarios si la cantidad encerrada entre ellos es positiva

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