Análisis De Circuitos En Corriente Alterna Senoidal

Análisis de circuitos en corriente alterna

senoidal

Introducción.

En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía

eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones

alternas senoidales.

De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos referimos

normalmente a aquella que presenta una forma senoidal. Esto es así, porque

presenta varias ventajas en cuanto a su distribución y transporte frente a la

c.c., además es la forma en que los generadores de c.a. la dan.

En Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de América

de 60 Hz.

Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal presenta las

siguientes ventajas:

- Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una

senoide de la misma frecuencia.

- La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta

amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia.

- Admite una representación con vectores giratorios, denominados

fasores, que admiten una representación en el plano complejo.

Onda senoidal, generación y valores asociados.

La generación de una onda senoidal parte de la Ley de Faraday que dice que:

“cuando una espira, de superficie S, está girando sobre su eje, a una velocidad

angular uniforme w, dentro de un campo magnético uniforme B, se induce una

fuerza electromotriz en los extremos de la espira”.

De esta forma se puede determinar que el flujo que atraviesa la espira, vendrá

dado en cada momento por la posición de la espira con relación al vector que

define la inducción del campo magnético.

En cada instante el ángulo que forma el vector superficie de la espira y el

vector inducción será: q = wt. El flujo a través de la espira será:

La f.e.m. inducida debida a este flujo será:

Que se puede expresar y representar de

forma general:

Siendo:

Em= Valor máximo, amplitud o valor de pico

w= frecuencia angular, en rad/s

T= periodo, en s

f= frecuencia, en Hz

Cumpliéndose las siguientes relaciones: T=1/f; =2f; =2/T

Valores asociados

Para caracterizar las señales alternas, y especialmente las senoidales usadas

en electricidad existen dos valores fundamentales: Valor medio y valor eficaz.

Para calcularlo se usan las siguientes expresiones:

Si resolvemos estas expresiones para un ciclo de la onda senoidal,

obtendremos:

El valor eficaz es de gran importancia, y será muy utilizado, porque el valor

eficaz de una corriente periódica es el valor de una corriente continua que al

circular por una resistencia produce en un tiempo T la misma cantidad de

energía disipada.

Representación compleja de una magnitud senoidal. Fasor.

Cualquier magnitud senoidal se puede representar mediante un vector giratorio.

Este vector que la representa tiene por módulo el valor máximo de la magnitud

senoidal, gira con una velocidad angular w, y su valor inicial depende del

ángulo de desfase j. Este vector giratorio se denomina fasor. Dado que en

ingeniería eléctrica vamos a trabajar con fasores que tienen la misma

frecuencia, y por consiguiente la misma velocidad angular, se suele utilizar una

representación de éste vector giratorio, en un t=0. La representación que más

se utiliza es la forma polar de este vector, usando coordenadas complejas.

Usando la formulación de Euler:

Como:

se puede considerar que, como el término en t es un vector giratorio que

depende de la frecuencia, solo nos hace falta considerar los otros términos,

que se pueden representar utilizando la notación de Kennelly, usada

normalmente para valores eficaces:

V /j

En la figura se expresa la relación entre las notaciones polar y de Kennelly, que

se relacionan:

Si utilizamos valores coseno, en el dominio de tiempo, su valor sería:

Vcos(wt+)

Derivada e integral de una magnitud senoidal

Si realizamos la derivada de la fórmula de Euler:

si en el segundo miembro de la igualdad sustituimos senos por cosenos:

donde se puede ver que el término exponencial es el mismo, pero multiplicado

por el término j.

Por lo que sí un vector giratorio representado por f(t) se deriva respecto al

tiempo:

Si integramos a partir de la fórmula de Euler:

Donde se puede ver que el término exponencial es el mismo, pero dividido por

el término jw.

Por lo que sí un vector giratorio representado por f(t) se integra respecto al

tiempo:

Deducciones que serán muy útiles para explicar el funcionamiento de los

elementos pasivos de un circuito.

El dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.

Si utilizamos para representar las magnitudes eléctricas, las funciones

trigonométricas, que dependen del tiempo, diremos que trabajamos en el

dominio del tiempo. Si trabajamos con la representación fasorial, dado que la

variable será la frecuencia, diremos que estamos en el dominio de frecuencia.

Respuesta senoidal de los elementos pasivos.

Supongamos que conocemos en un circuito la tensión y la intensidad, dadas

por las siguientes relaciones cosenoidales:

Con lo que para cada elemento pasivo tendremos:

Resistencia:

cumpliéndose que: v=i

Inductancia:

donde:

que con la notación de Kennelly será:

Cumpliéndose que: v=i+900

Se puede observar, comparando las notaciones de Kennelly, que el término 1/j

implica un término de integral, que se corresponde con la rotación de 900 en

sentido horario del vector giratorio.

Al término 1/Cw se le denomina Reactancia capacitiva, representándose por

XC.

Impedancia y admitancia compleja.

Según las relaciones del apartado anterior, expresando la tensión y la corriente

en forma de fasores (vectores giratorios), se puede ver que según el elemento

pasivo que tengamos, las relaciones entre tensión y corriente serán:

La ley de Ohm, generalizada para corriente alterna, se define como: V=ZI

Donde el término Z hace referencia a la impedancia. Esta impedancia,

relacionada con los elementos pasivos simples, tiene el siguiente valor según

de que elemento se trate:

Se observa que la impedancia es un valor complejo, pudiéndose expresar

como:

Z=R+jX Z=R+j(XL-Xc)

Dado que la impedancia Z es un número complejo se puede representar con la

notación de Kennelly, pero teniendo presente que no representa un vector

giratorio.

De esta forma tendremos:

Donde la figura representa el llamado triángulo de

impedancias, que representa las dos formas de

representar la impedancia, en forma compleja y con

la notación de Kennelly.

Asociación de elementos pasivos con señal alterna senoidal.

La asociación de impedancias se corresponde exactamente con la asociación

de resistencias en el caso de corriente continua. De tal manera, se pueden

asociar las impedancias en serie, paralelo, estrella y triángulo. Quedando:

Asociación en serie: Zeq=Z1+Z2+Z3+...

Asociación en paralelo: 1/Zeq=1/Z1+1/Z2+1/Z3+...

Transformación estrella triángulo:

Método de las corrientes de malla.

La aplicación del método de las corrientes de mallas, en el caso de corriente

alterna, tiene las mismas consideraciones que este método para c.c.

La diferencia consiste en utilizar impedancias Z en lugar de resistencias y

fuentes de tensión alterna en lugar de continua.

Presenta más complejidad de cálculo, debido a que trabajaremos con números

complejos en lugar de trabajar con números reales.

Para la aplicación del método, plantearemos las ecuaciones de mallas que

sean independientes (tantas como “ventanas” tenga el circuito), y a partir de

ellas determinaremos las intensidades de cada malla. Para resolver el circuito

tendremos n ecuaciones de malla con n incógnitas(las corrientes de malla).

Del resultado de aplicar las corrientes de malla a cada rama determinaremos

las corrientes de rama.

Principio

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