Constante De Tiempo Circuito RL

CONSTANTE DE TIEMPO

Circuito RL

Se comenzará el estudio analizando un circuito RL simple como el de la figura 1.1. Se designa como a la corriente variable con el tiempo, y sea I0 el valor de para . Por tanto se tiene

Se debe determinar un valor que satisfaga la ecuación y también el valor supuesto de para .

Para la resolución de esta ecuación se utilizará el método de variables separables, así

Puesto que para la corriente es I0 y para el tiempo t es , se pueden igualar las dos integrales definidas que se obtienen integrando cada miembro entre los límites correspondientes,

Por tanto,

Si se sustituye la solución encontrada en la ecuación general se llega a la identidad 0 = 0 y que si se evalúa en t = 0 se encuentra que . Esta comprobación es necesaria dado que la solución debe satisfacer la ecuación diferencial del circuito y también la condición inicial o respuesta en el instante cero.

La solución de la ecuación diferencial obtenida. Se puede encontrar también por otro método mediante una ligera variación,

La constante de integración K debe escogerse de tal forma que satisfaga la condición inicial . Así, para t = 0 se obtiene,

Que al reemplazarlo en la solución se tiene

De lo que implica que

como anteriormente.

Los métodos utilizados son posibles de utilizar cuando se pueden separar las variables, lo que no siempre es posible. En los demás casos se cuenta con un método que consiste en suponer una solución y sustituirla en la ecuación diferencial, para luego aplicar las condiciones iniciales. Muchas de las ecuaciones diferenciales encontradas en el análisis de circuitos tienen una solución que puede ser representada por una función exponencial o por la suma de varias funciones exponenciales. Se supone la solución

En que tanto A como s son constantes por determinar. La solución propuesta se sustituye en la ecuación general

Con el objeto de satisfacer esta ecuación para todos los valores de tiempo, es necesario que A = 0, . Pero si A = 0 o , entonces todas las respuestas son cero, luego, ninguna de estas dos condiciones pueden ser solución del problema. Por tanto se escoge

Y la solución supuesta toma la forma

Luego, solo queda por determinar la constante A y esto se logra aplicando la condición inicial de i = I0 para t = 0. Así,

A = I0

Que al ser reemplazada en la solución se llega una vez más a la obtenida en primera instancia

Determinando la potencia, se podrá encontrar la energía almacenada en la inductancia, luego

Luego, la energía buscada se encuentra integrando la potencia

Que corresponde al resultado esperado puesto que la energía total almacenada inicialmente en la bobina es y no existe energía almacenada en ella por un tiempo infinito, luego toda la energía desaparece disipándose en la resistencia.

En la solución encontrada, al tiempo cero, se supone que la corriente es I0 y según va aumentando el tiempo la corriente va decreciendo exponencialmente acercándose a cero. Esta forma de onda se muestra en la figura 1.2. Si no cambia el valor de R/L la curva no cambiará, por lo que en todos los circuitos RL serie que tengan la misma razón.

Si se dobla la razón de L a R, el exponente no variará si se dobla t. Dicho de otra forma, la respuesta original se presentará a un tiempo posterior y se obtiene la nueva curva desplazando cada punto de la curva original hacia la derecha hasta una distancia doble. Con esta razón, L/R mayor, la corriente tarda más tiempo en decrecer a una fracción dada de su valor original. Se podría decir que el “ancho” es proporcional a L/R, pero se hace necesario definir el término “ancho”, ya que todas las curvas se extienden desde 0 hasta . En lugar de ello, se considerará el tiempo requerido para que la corriente caiga a cero suponiendo que continúa cayendo con la misma pendiente inicial.

La pendiente inicial se encuentra calculando la derivada en el instante cero,

Se designará con la letra griega  (tau) al valor del tiempo usado por i/I0 en pasar desde el valor unidad hasta el valor cero, suponiendo una razón de decrecimiento constante, luego

La razón L/R tiene la dimensión física de segundos. El valor de este tiempo recibe el nombre de constante de tiempo y se muestra en la figura 1.3.

Cuando la fuente de voltaje se retira de un circuito RC o RL y ha transcurrido una constante de tiempo, el voltaje en el condensador ha pasado de un 100% hasta un 36.8 % (se ha perdido un 63.2% de su valor original). Igual sucede con la inductancia, cuando ha transcurrido una constante de tiempo la corriente ha caído desde un 100% al 36.8%.

Otra interpretación de la constante de tiempo se obtiene al determinar el valor de i(t)/I0 para t = 0, así

Lo que significa que cuando ha transcurrido una constante de tiempo, la respuesta ha caído a un 36.8% de su valor inicial.

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