DERIVADAS IMPLICITAS

Derivación Implícita

En General las funciones se han presentado de la forma , expresando una variable en términos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables están implícitas.

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Estrategia para la Derivación Implícitas

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x

2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.

3. Sacar factor común en la izquierda.

4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda

Ejemplo # 1

Si , encontrar .

Derivamos ambos lados de la ecuación.

Recordemos que y es una función de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la cadena.

Y resolvemos para .

Ejemplo #2

Encontrar y' de:

Aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuación, para quitar el exponente x.

Por leyes de los logaritmos.

Derivamos implícitamente.

Despejamos y'-

Sustituimos y.

Ejemplo #3

Derivamos implícitamente:

Dejamos y prima de un solo lado

Aplicamos Factor común y prima

dividimos de ambos lados

Ejemplo # 4

Cambiamos el cos(y) a función de él sen(y) que sería

despejamos cos(y)

Respuesta:

Definición de continuidad

Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.

está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)

2.

existe

3.

La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo # 1

Determinar si la función definida por es continua en

Primero por lo que f está definida en 2

Calculemos

(De aquí existe)

Como entonces f es continua en

Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo # 2

Determine si la función definida por

es o no continua en

Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además

Pero por lo que es discontinua en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo # 3

Sea f la función definida

Determinar si f es continua en

Según la definición de la función .

Además

Luego por lo que f es continua en

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

Continuidad en un intervalo [a,b]

Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:

a. es continua para todo tal que

b. es continua

...