Ecuación de continuidad (Principio de conservación de la masa)

Ecuación de continuidad (Principio de conservación de la masa)

La ecuación de continuidad es un importante principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en la hidrodinámica. Para la formulación de la ecuación de continuidad de los fluidos se asumen un grupo de consideraciones ideales que no siempre se tienen en los fenómenos reales de movimientos de fluidos, de modo que en general, aunque la ecuación es clave para la interpretación de los fenómenos reales, los cálculos derivados de su uso serán siempre una aproximación a la realidad, sin embargo, en una buena parte de los casos con suficiente exactitud como para poder ser considerados como ciertos.

El principio de la conservación de la masa establece que la valoración con el tiempo de la masa contenida en un volumen fluido es nula. Para obtener la forma diferencial de dicho principio considérese el volumen fluido infinitesimal.

[pic 1]

Donde dΩ es el volumen de la región dΩƒ(t).

Acciones dinámicas y energías locales en puntos genéricos de la superficie y del volumen de una particula fluida que en el instante t se encuentra en el entorno de un punto fijo x, cuenta que, debido a las dimensiones infinitesimales de la región de integración, el integrado puede evaluarse, salvo infinitésimos de orden superior, en el punto x. Desarrollando la derivada sustancial y teniendo en cuenta que, D(dΩ)/Dt=.vdΩ, la ecuación se escribe[pic 2]

[pic 3]

Esta ecuación se denomina como ecuación de continuidad, o ecuación de la masa en forma diferencial. La ecuación expresa la variación con el tiempo de la masa contenida en la unidad de volumen.

En el movimiento estacionario de gases, la ecuación de continuidad se reduce a  qu expresa que el flujo convectivo neto de masa a través de la superficie que encierra la unidad de volumen es nulo. Para líquidos, que como es sabido se comportan como fluidos incompresibles en la mayoría de las situaciones practicas (p Constante), se tiene  que es la ecuación de continuidad para un fluido incompresible. Obsérvese que  es la velocidad de dilatación cubica unitaria, y debe ser nula para un flujo incompresible.[pic 4][pic 5][pic 6]

Tomemos un tubo imaginario de sección variable formado por un racimo de lineas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1. En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia Δx1 = v1 Δt siendo v1 la velocidad del fluido en esa zona.

[pic 7]

Si A1 es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo es ΔM1 = ρ1A1 Δx1 = ρ1A1v1Δt, donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa ΔM2 = ρ2A2v2Δt. Como la masa debe conservarse y debido también a que el flujo es laminar, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la sección A1, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través de A2. Por lo tanto ΔM1 = ΔM2, o:

ρ1A1v1Δt = ρ2A2v2Δt    (ecuación 1)

Si dividimos por Δt tenemos que:

ρ1A1v1 = ρ2A2v2   (ecuación 2)

La ecuación 2 se conoce como ecuación de continuidad.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces ρ1 = ρ2 y la ecuación de continuidad se reduce a:

 A1v1 = A2v2

Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce como caudal.

Ecuación de Bernoulli

Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.

La dinámica de los líquidos, está regida por el mismo principio de la conservación de la energía, el cual fue aplicado a ellos por el físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), obteniendo como resultado una ecuación muy útil en este estudio, que se conoce con su nombre.

Para ello se puede considerar los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinando la energía mecánica de una porción de éste, a lo largo del filete de fluido en movimiento que los une.

Si m es la porción de masa considerada, v su rapidez, y la altura sobre el nivel tomando como base, p la presión y P la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el teorema trabajo-energía cinética:

[pic 8]

Si ahora se divide a todos los términos de los dos miembros, entre la masa considerada, se obtendrá la ecuación de Bernoulli, que corresponde a la ley de la conservación de la energía por unidad de masa. Si el fluido es incompresible, como supondremos en lo sucesivo,   donde la ecuación de Bernoulli adopta la forma:[pic 9]

[pic 10]

Flujo Másico.

Es la velocidad a la que la masa de una sustancia pasa a través de una superficie dada. De manera similar, el flujo volumétrico es la velocidad a la que el volumen de un líquido pasa a través de una superficie dada. Estas medidas se utilizan ampliamente en la dinámica de fluidos, y con frecuencia es necesario convertir estas medidas de flujo. Nota que ambos líquidos y gases se consideran fluidos en el contexto de la dinámica de fluidos.

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