In Iciacion A La Geometria Analitica

INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANO

En el plano consideramos el sistema de referencia cartesiano, dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O(0, 0). OX es el eje de abscisas, OY es el eje de ordenadas.

Con este sistema cada punto del plano, P, se puede representar por dos números que llamamos coordenadas y representamos entre paréntesis, P(x, y) (ver dibujo). La primera “coordenada”, x, se llama abscisa, la segunda coordenada, y, se llama ordenada.

SIGNO DE LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS EN LOS CUATRO CUADRANTES

En el primer cuadrante las dos coordenadas son positivas, en el segundo la abscisa es negativa y la ordenada positiva, en el tercero las dos son negativas y en el cuarto la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

Ejemplo 1. Dibuja los puntos de coordenadas A( 3, 2), B(-3, 2), C(3, -2) y D(-3, -2)

DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS

Si tenemos dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) la distancia entre esos dos puntos es:

d(A, B)= , lo cual se puede demostrar aplicando el Teorema de Pitágoras (ver figura)

Ejemplo 2. La distancia entre los puntos A(2, -1) y B( 3, 3) es

SEGMENTOS. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si consideramos el segmento AB, , la longitud del segmento es la distancia de A a B, es decir :

Longitud =

El punto medio de un segmento dado por sus coordenadas se puede comprobar que es de la forma

PM =

Ejemplo 3. El punto medio del segmento , donde A(2, -1) y B( 3, 3) es

VECTORES EN EL PLANO

Dados los puntos del plano A(a1, a2) y B(b1, b2) llamamos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado :

La coordenadas del vector se obtienen restando a las coordenadas del punto extremo las del origen. Es decir las coordenadas de son (b1 -a1, b2-a2)

Ejemplo 4. Las coordenadas del vector , donde A(2, -1) y B( 3, 3) son (3 -2, 3+1)=(1, 4)

Se llama módulo del vector a la longitud del segmento . Dirección del segmento la de la línea que la contiene o de cualquier paralela. Sentido el que indica la flecha.

Ejemplo 5. El módulo del vector del ejemplo 4 es

VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

Ejemplo 6. Los vectores y , donde A, B, D y C son los vértices de un rectángulo, son equivalentes,

D

C

, pues tienen el mismo módulo, dirección y sentido

A

Se verifica que dos vectores equivalentes tienen las mismas coordenadas.

Dos vectores con igual módulo, dirección pero con distinto sentido son “opuestos”. Sus coordenadas son las opuestas.

Ejemplo 7 los vectores (3, 2) y (-3, -2) son opuestos.

PUNTOS ALINEADOS

Tres puntos A, B y C están alineados si los vectores y tienen la misma dirección y sus coordenadas son proporcionales.

Suma de vectores

Sean , dos vectores, su suma + es:

( regla del paralelogramo)

( La resta - daría la otra diagonal, haz un dibujo apropiado para comprobarlo)

Si los vectores vienen dados por sus coordenadas, se suman sus coordenadas.

Ejemplo 8: Dados los vectores u(3, -1) y v(2, 4), la suma es u +v =(5, 3)

Comprobarlo gráficamente.

VECTOR DE POSICIÓN

Dado

...