Ingeniería Industrial y de Sistemas - Modelos Estocásticos

Pontificia Universidad Católica de Chile

Escuela de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas

Modelos Estocásticos

Profesor Pedro Gazmuri S.

2/2016

                         TAREA Nº6

1. Un proceso de Poisson N(t) a tasa λ=100 eventos/hora se descompone en 2 procesos: N1(t) con probabilidad 0.7 y N2(t) con probabilidad 0.3.

1. Obtenga una expresión para: E[ N(1)/N2(1) >2]
2.  Sean: 0 < t1 < t2  < t : Calcule: E[N1(t)/ N(t2)-N(t1)=n]

1. Sea N(t) un Proceso de Poisson No Homogéneo en que λ(t) = t para 0 ≤ t ≤ 2; λ(t)=2 para t > 2.

1. Obtenga la distribución de T1
2. Obtenga una expresión para  la distribución de T2

1. A una central telefónica llegan llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson no homogéneo con tasa [pic 1] en que t se mide en minutos.

1. Obtenga la probabilidad que durante el primer minuto llegue al menos una llamada a la central
2. Si se sabe que durante los primeros 2 minutos llegaron 40 llamadas a la central, ¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la llamada número 41?

1. Sean T1 , T2 , …. Ti ….. tiempos entre eventos de un Proceso de Poisson no homogéneo con tasa λ(t)

1. encuentre una expresión para la distribución de T1
2. encuentre una expresión para la distribución de Tn+1 condicionada en T1, T2,….Tn
3. ¿ son los Tis independientes? ¿son idénticamente distribuidos?
4. considere 2 intervalos contiguos: [0, t1] y [t1 , t2]. Suponga que en el primer intervalo ocurrieron n1 eventos; ¿cuál es la probabilidad que en el segundo intervalo ocurran n2  eventos?

1. Suponga que a un camping turístico de la cuarta región llegan familias a buscar un sitio para acampar de acuerdo un proceso de Poisson a tasa . El camping cuenta con un total de  sitios de camping. Si al llegar una familia observa que hay menos de  sitios ocupados, siempre ingresa (y ocupa un sitio); si hay  sitios ocupados () ingresa con probabilidad . Si están todos los sitios ocupados, las familias no ingresan al camping. Suponga que cada familia permanece en el camping por un tiempo indefinido. Sea  el proceso que cuenta el número de sitios que han sido ocupados por familias entre  y .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

1. Se desea analizar los tiempos entre eventos de ese proceso. Obtenga la distribución de probabilidades de cada uno de estos tiempos.
2. Obtenga una expresión para el tiempo esperado hasta que se copa el camping.

1. Una empresa pesquera ha salido a alta mar con uno de sus barcos pesqueros a pescar jurel. Se sabe que el proceso que cuenta el número de toneladas que se capturan es un proceso de Poisson; sin embargo la tasa de pesca es desconocida. Suponga que se sabe a priori que esta tasa puede ser de 5 o 10 toneladas por hora con igualdad de probabilidad. Por cada tonelada capturada la empresa obtiene un ingreso neto de US$10.000. Cada hora de operación del barco tiene un costo de operación de US$90.000. Para desarrollar la faena, la empresa he decidido utilizar el siguiente procedimiento: pescar durante una hora y en base a la captura obtenida, decidir si conviene pescar o no en las próximas 10 horas.

1. Suponga que durante la primera hora se capturaron 8 toneladas; indique si le conviene o no a la empresa seguir pescando.
2. ¿Cuál tendría que haber sido la pesca mínima durante la primera hora para que hubiese sido rentable seguir pescando?

1. En el modelo general de Cadena de Markov Discreta con M estados, indique cómo calcular: Pr{Xn= i /Xn+1= j}. Depende esta probabilidad del estado inicial?

SE ENTREGAN LOS PROBLEMAS 1, 2, 5, 6  y 7

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