INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

-40UNIVERSIDAD DE SONORA

LICENCIATURA: QUÍMICO CLÍNICO

CURSO: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

IMPARTIDO POR: M.C. JOSEFINA TORRES O.

PROBLEMARIO PARA EL TERCER EXAMEN PARCIAL

VARIACIÓN (RAZÓN Ó TASA) PROMEDIO Y VARIACIÓN INSTANTÁNEA

REQUISITO.

ANTES QUE NADA, CONSULTE LAS NOTAS QUE TOMÓ EN CLASE, PARA QUE LES HALLE SENTIDO A LOS PROBLEMAS AQUÍ EXPUESTOS.

COMENTARIOS:

ALGUNOS PROBLEMAS TRAEN EL PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN, OTROS SOLO LA RESPUESTA.

PARA LA ÚLTIMA SECCIÓN, PUEDE EMPLEAR LAS REGLAS VISTAS EN CLASE PARA LA OBTENCIÓN DE LA VARIACIÓN INSTANTÁNEA.

DOS EJEMPLOS SOBRE VARIACIÓN PROMEDIO

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

3. Se registraron las lecturas de temperatura (en grados Celsius)  cada hora, a partir de la media noche, en un día de abril, en Whitefish, Montana. El tiempo x se mide en horas a partir de la media noche, los datos se dan en la siguiente tabla:

Encuentre la razón de cambio promedio desde: a) el mediodía hasta las 3:00 PM, b) Desde el mediodía hasta las 2 PM; c) Desde el mediodía hasta la 1 PM;

SOLUCIÓN:

a) [pic 4] en tanto que el cambio en el tiempo es [pic 5]h  por consiguiente la razón promedio de cambio es [pic 6]

b) 2.5      c) 1.7

En la siguiente figura tenemos representadas a las rectas secantes y tangentes con su respectiva fórmula para sus pendientes:

 [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

RECUERDE TAMBIÉN QUE LA PENDIENTE DE RECTA TANGENTE TIENE OTRA NOTACIÓN, ESTO ES, COMO LA FUNCIÓN DERIVADA: EJEMPLO Y´=f´(x)=.[pic 22]

4. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de

M(t) =  [pic 23]gramos después de t horas.

(a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? R: 0.02005

(b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo de 2 ≤ t ≤ 2.01?

2.005

(c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = 2? R: M'(2) = 2

5. Se usa un monitor cardíaco para medir la frecuencia cardíaca de un paciente después de una cirugía. Este recopila el número de latidos cardíacos después de t minutos. Cuando se sitúan los datos  de la tabla en una gráfica la pendiente de la recta tangente representa el número de latidos por minuto

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardíaca del paciente, después de 42 minutos, usando la pendiente de la  recta secante entre los puntos, para hacer dicha estimación:

a)  t=36 y t=42    b) t=38 y t=42   c) t=40 y t=42  d) t=42 y t=44

Solución

a) t=36 y t=42 R: 69.6

b) t=38 y t=42 [pic 24]

c) t=40 y t=42

[pic 25]

d) t=42 y t=44

[pic 26]

6. Un depósito contiene 1000 galones de agua que se drenan desde la parte inferior en 30 minutos. Los valores que aparecen en la siguiente tabla, representan los valores del volumen V de agua que resta en el depósito (en galones) una vez que transcurren t minutos :

a) Sea  P(15,250) en la gráfica de V, encuentre la pendiente de las rectas secantes PQ, cuando Q es el punto en la gráfica para t en  5,10,20,25 y 30 minutos

(b)Estime la pendiente de una recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes

Solución:

(15,250) (5,694)

Msec=  = -44.4[pic 27]

(15,250) (10,444)

Msec=  = -38.8[pic 28]

(15,250) (20,111)

Msec=  = -27.8
[pic 29]

(15,250) (25,28)

Msec= = -22.2[pic 30]

(15,250) (30,0)

Msec= = -16.66[pic 31]

(b) Estime la pendiente de una recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes

 = -33.3[pic 32]

Estimación de la pendiente de la recta tangente utilizando los intervalos de 15-20 y 15-10

7. Considere la tabla de datos, donde x representa el número de años,  f(x) el peso corporal en kilogramos:

a) Encuentre la razón de cambio promedio de peso entre los 13 y 20 años.

b) Encuentre la razón de cambio promedio de peso entre los 21 y 26 años.

1. Encuentre la razón de cambio promedio de peso entre los 13 y 20 años.R:2.57

(13,24) (20,42)

Razón promedio =  = 2.57[pic 33]

1. Encuentre la razón de cambio promedio de peso entre los 21 y 26 años.R:2.2

(21,43) (26,54)

R.Prom. =  = 2.2[pic 34]

8. La cantidad de calor H (en joules) que se necesita para convertir un gramo de agua en vapor es función de la temperatura T (en °C) de la atmósfera según la ley

 . Encuentre las razones de cambio promedio de la cantidad de calor H con respecto a la temperatura T de la atmósfera para , en intervalos de 15 grados de amplitud. Ayuda: Llene la siguiente tabla:[pic 35][pic 36]

Solución

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