La definición de la línea de transformación y sus propiedades

UNIDAD V.- TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1.- INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES

LINEALES.

5.2.- NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION

LIENAEL.

5.3.- LA MATRIZ DE UNAS TRANSFORMACIONES

LINEALES.

5.4.-APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES

LINEALES:

* REFLEXION

* DILATACION

* CONTRACCION

* SATACION

UNIDAD V.- TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1.- INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LIENEALES.

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Definición de transformación lineal y sus propiedades

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función

Tal que:

i.

ii.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si

es una transformación lineal, entonces:

.

En efecto

. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que:

.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii.

es lineal si y solo si

, .

iii. Si T lineal, entonces

Inversamente, supongamos que

Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a).-

.

b).-

Nótese que usamos el hecho de que

, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii.

es lineal si y solo si

,

.La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si

entonces

, por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para :

Por la condición (i) de T, tenemos que,

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo 1.

Sea

tal que

.

Entonces T es lineal, ya que

,

y por otro lado

. Por lo tanto, vemos que

.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como .

Ejemplo 2.

Sea

tal que

,

Entonces T es lineal, ya que:

.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como

.

Ejemplo 3.

Sea

tal que

la traza de A, es decir,

, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 4.

Sea

...