Definiciones de transformaciones lineales

INTRODUCCION

Una transformación lineal es una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada (codominio o "imagen") de la suma de los 2 vectores del dominio (conjunto de salida) es la suma de las "imágenes" de cada uno de los vectores y la "imagen" del producto de un vector del dominio que un escalar es el producto de la "imagen" del vector por el escalar.

DEFINICIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Como se ha visto, una transformación tiene tres elementos esenciales: el dominio, el codominio y la regla de correspondencia; ademas, tiene dos características importantes derivadas de las tres antes mencionadas: el recorrido (perteneciente al codominio) y el núcleo (parte del dominio).

En Algebra Lineal se ha hablado de operaciones de suma da vectores y de multiplicación por un escalar; para que una transformación sea caso de estudio en el Algebra Lineal, es necesario que mantenga dichas operaciones validas a lo largo de la transformación. Es así como surge el concepto de transformación lineal.

CARACTERISTICAS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Recorrido de una Transformación.

Se denomina el recorrido de una transformación al conjunto de todos los vectores que son imagen de algún vector del dominio. Es decir si T: V  W es una transformación donde V es el dominio y W es el codominio, entonces el recorrido está dado por el siguiente conjunto:

T (V) = {T (ν̅)| ν̅ ϵV}

El recorrido es un subconjunto del codominio. Ademas, cuando la transformación es lineal, el recorrido es un subespacio vectorial del codominio.

El procedimiento para obtener el recorrido T (V) de una transformación T: V  W es:

• Determinar una base del dominio V (por facilidad la base canónica), denominada:

B (can) de V = {V₁, V₂,..., Vn}

• Obtener las imágenes T(ν̅) de los vectores de la base canónica anterior; las cuales constituirán el conjunto generador del recorrido:

CG = {T (ν̅₁), T (ν̅₂),…., T (ν̅n)}

• Si se determina el “espacio renglón” de la matriz cuyos renglones son los vectores del conjunto CG anterior, se obtiene el recorrido T (V) de la transformación T.

Es decir:

1. Transformar a la matriz mencionada a su forma canónica escalonada, en la cual, los renglones diferentes de cero constituyen los vectores de la base canónica del recorrido:

B (can) de T (V) = {c̄₁, c̄₂,…, c̄n}

2. Determinar un vector genérico w, escribiéndolo como combinación lineal de los vectores de la base canónica anterior:

w̅ = α₁c͞₁ + α₂c͞₂,..., αnc͞n

3. Dicho vector genérico, es el que indica la forma general del recorrido; conocido éste, sólo basta con expresarlo como un conjunto.

T (V) = {w̅ ϵ W}

↗

Recorrido de la transformación T

Núcleo de una transformación

Se denomina el núcleo de una transformación al conjunto de vectores cuya imagen es el vector cero del codominio. Es decir, si T: V  W es una transformación con dominio V y codominio W, entonces el núcleo está dado por el siguiente conjunto:

N (T) = {v̄ ϵ V|T (v̄) = Ōw}

El núcleo es un subconjunto del dominio. Ademas, cuando la transformación es lineal, el núcleo es un subespacio vectorial del dominio.

El procedimiento para obtener el núcleo N (T) de una transformación T: V  W es:

• Proponer un vector v̄ que pertenezca al dominio V.

• Calcular la imagen T (v̄) del vector v̄ anterior e igualarla con el vector cero del codominio, es decir:

T (v̄) = Ōw.

• Comparar uno a uno los términos de la igualdad anterior para determinar la forma específica del vector v̄ propuesto inicialmente. Como puede deducirse, esta comparación o igualdad origina una o varias ecuaciones lineales homogéneas (dependiendo de los espacios vectoriales estudiados) que al ser resueltas permiten determinar la forma específica del vector v̄ buscado, que es el vector genérico que constituye el núcleo y que finalmente debe escribirse como

N (T) = {v̄ ∈ V}.

↗

Núcleo de la transformación T

EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2 ® R3 / " x Î R2: T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿” x, y Î R2: T (x + y) = T (x) + T (y)?

x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =

= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î R2, " k Î R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =

= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =

= k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal.

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î R2: T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿” x, y Î R2: T (x + y) = T (x) + T (y)?

x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x) + T (y) = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)

No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

DEMOSTRACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

Sea T: V → W una transformación lineal.

Se verifica que T(x) = Ax (1)

Donde A se denomina matriz asociada o matriz estándar de la transformación lineal.

La expresión (1) se denomina transformación matricial y es de extensa utilización en el Álgebra Lineal.

La aplicación precedente puede interpretarse en el sentido que si tengo un vector x perteneciente al dominio (el espacio vectorial V) y le aplico el operador A (es decir, la matriz asociada a la transformación T), obtengo la imagen de x, del mismo modo que la obtendría si a x le aplicara la expresión analítica de la transformación lineal.

Demostraremos que (1) representa una transformación lineal.

Aplicando la expresión (1) sobre un vector x ε V, resulta, tal cual está indicado,

T(x) = Ax (2)

Aplicando la expresión (1) sobre un vector y ε V, resulta:

T (y) = Ay (3)

Sumando miembro a miembro (2) y (3):

T(x) + T (y) = Ax + Ay = A (x + y) (4)

Por la ecuación (1), tal cual se expresara más arriba, cuando sobre un vector del dominio aplico el operador A, obtengo la imagen de dicho vector. En el caso de las ecuaciones indicadas con el numeral (4), el vector sobre el que aplico A es (x + y), por la que la imagen que voy a obtener será T (x + y)

En consecuencia, resulta:

T(x) + T (y) = Ax + Ay = A (x + y) = T (x + y)

Con lo cual queda probado que la suma de los transformados es igual al transformado de la suma, primera de las dos condiciones que definen cuando una transformación es lineal.

Para demostrar la segunda, si a la ecuación indicada con el numeral (2) la multiplicamos miembro a miembro por el escalar α, resulta:

αT(x) = αAx (5)

Asociando en el segundo miembro (recordemos que todo vector de Rn puede considerarse como una matriz perteneciente a las matrices Rnx1) y agrupando resulta:

αT(x) = Aαx = A (αx) (6)

Y considerando en la expresión (6) el concepto de operador de A enunciado precedentemente, la imagen del vector αx cuando le aplico A será T (αx), por lo que en definitiva:

αT(x) = Aαx = A (αx) = T (αx)

Lo que demuestra la segunda condición para que T sea lineal.

PROPIEDADES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

El Núcleo de una transformación lineal

Este es un subespacio vectorial del dominio

Sea T: V → W una transformación lineal.

Vamos a demostrar que el Núcleo de la transformación lineal [Nu (T)] es un subespacio vectorial del dominio V.

Recordemos que Nu (T) está formado por todos los elementos de V cuya imagen es el vector nulo (0) del codominio W.

Para probar que Nu (T) es un subespacio vectorial, debemos demostrar:

a.- Que Nu (T) no es un conjunto vacío.

b.- Que es cerrado para la suma.

c.- Que es cerrado para el producto por un escalar.

a.- Nu (T) no es vacío ya que una de las propiedades de las transformaciones lineales (se sugiere consultar los apuntes de clase o la bibliografía propuesta) es que si una aplicación T es lineal, entonces el vector nulo del dominio tiene como imagen el vector nulo del codominio.

Es decir T (0V) = 0W

En consecuencia, siempre Nu (T) tiene al menos un elemento, que

...