Maquinas y mecanismos.

[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Así como en la Geometría las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos básicos que se admiten sin definición; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, también, ideas no susceptibles de definición.    

NOCIÓN DE CONJUNTO

Conjunto:        Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denominan elementos  ó miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen  al conjunto.

Notación:         Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas: A, B, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minúsculas: a, b, c, etc.

 Relación de Pertenencia: Si un objeto “x” es elemento de un conjunto A, se dice que “x pertenece al conjunto A” ó que “x está en A”, y se denota por: x ∈ A.         En caso contrario, “x no pertenece a A” y se denota por: x ∉ A.

Ejemplo:        Si A es el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y 1;   y B es el conjunto constituido por: 0 y 1; escribimos:

        A = { 8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 ]; B = { 0, 1 }.

        En este caso:

                8 ∈ A...( V )                        -2 ∈ A...( V )

                6 ∉ A...( V )                        1 ∈ A ∧ 1 ∈ B...( V )

                0 ∈ A...( V )                        3 ∉ B...( V )

                { 0, 1} ∈ A...( V )                { { 0, 1} } ∉ A...( V )

        Se observa, además, que el conjunto B pertenece al conjunto A.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Para representar gráficamente a los conjuntos se usan los Diagramas de Venn-Euler  que son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, como se ilustra a continuación con los conjuntos  A y B del ejemplo dado anteriormente.

[pic 7]

7 ∉ A ∧ 7 ∈ B                                (V)

9 ∉ B → 0 ∈ B                                (V)

{ 0, 1 } ∈ B  ∨   -2 ∈ A                (V)

{ 1 } ∈ B  ↓  { 0, 1 } ∉ A        (V)

DETERMINACION DE CONJUNTOS

1. POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR

Cuando se indica explícitamente cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo        :

        A = { 2, 3, 5, 7, 11 }                B = { 1, 4, 9, 16, 25 }

        C = { a, e, i, o, u }

II.        POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA

Cuando los elementos  del conjunto son caracterizados mediante una propiedad común.

Ejemplo:

        A = { p / p es un número primo ∧ p • 12 }

        B = { x2 / x ∈ Z+ ∧ x ≤ 5 }

        C = { x / x es una vocal }

Esquema general:

[pic 8]

Ejemplo:

        T = { x / x es un pronombre personal en Inglés }

Nota: Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.

[pic 9]

CONJUNTOS NUMERICOS

Son típicos en matemática los siguientes conjuntos numéricos:

        [pic 10]

CLASES DE CONJUNTOS

CONJUNTO FINITO        

Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Ejemplo        :

A = { x /  x  es un hablante nativo de Quechua }

B = { x /  x  es un mes del año }

CONJUNTO INFINITO

                Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo        :

        A = { p /  p  es un número primo }

        B = { x / x ∈ R ∧ 8 •  x • 9 }

        C = { x / x es una estrella de universo }

CONJUNTOS ESPECIALES

1.        CONJUNTO NULO O VACIO

Es aquel conjunto que carece de elementos.

Ejemplo        :

        A = { x / x  es el actual  Virrey del Perú }

        B = { x / x ∈ N ∧ 7 • x • 8 }

Notación:         ∅ = {  } =[pic 11][pic 12].

A = B = ∅ = {  }.

2.        CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON

        Es el conjunto que tiene un sólo elemento.

        Ejemplo:  A = { x / x  ∈ Z ∧ 10 • x • 12 }   =          { 11 }

                        B = { 2, 2, 2, 2, 2,  .............}           =        { 2 }

3.        CONJUNTO UNIVERSAL        

Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.

        Ejemplo:        

A = { 1, 2, 3 };         B = { 2, 4, 6, 8 }

        Pueden ser conjuntos universales:

                U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}

                U = = {x / x  ∈ N }

*        Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante un rectángulo.

ILUSTRACIÓN RESUMEN

[pic 13]

[pic 14][pic 15]

[pic 16]

EJERCICIOS  GRUPO 1

1.        Dado el conjuntos  A = { a, { a }, ∅ }. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.

1. { a } ∈ A                                d.        ∅ ∈ A
2. El conjunto ∅ ∈ A                e.        ∅ = { ∅ }
3. { a, { a } } ∈ A

2.        Señalar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.

1. ∅ = {  }.
2. A = { x ∈ R / x2+1 = 0 }  es un conjunto no vacío.
3. B = { x ∈ R / x3 + 2x = 0 } es unitario.
4. El conjunto A = { -1, 1, 3, 5, ..........} por comprensión es

A =  { x / x = 2n - 3,  n ∈ Z+ }.

1. Si W = { x / x  ∈ R, x2 – 23 = 2 }, entonces –5 ∉ W.

3.        Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

1. A = { x ∈ N / x - 1 •  5 }
2. C = { x ∈ Z / - 2 •  x  ≤ 3 }
3. M = { x / x  es un pronombre personal en Inglés }

4.        Determinar por comprensión los siguientes  conjuntos

1. A = { 4, 6, 8, 10 }
2. X = { 3, 5, 7, 9, ..........}
3. Y = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}

[pic 17]

CLAVE DE RESPUESTAS

1.        Son verdaderas a y d.

2.        Son verdaderas a, b y c.

3.        a.        A = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 }          b.  C = { -1, 0, 1, 2, 3 }

        c.        M = { I am, You are, She is, He is, It is, We are, You are, They are }.

4.        a.        A = { x / x  es par ∧ 4 ≤ x  ≤ 10 }

        b.        X = { x / x  es impar ∧ x ≥ 3 }

...