Matrices Y Determinantes

Elementos maximales y minimales

Dado un conjunto se dice que un elemento es maximal en si no existen elementos de posteriores a él.

Un elemento se dice minimal en si no existen elementos de anteriores a él.

Elemento maximal y minimal

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P que no es menor que cualquier otro. El término elemento minimal se define de manera dual.

Definición

Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado; m ∈ P es un elemento maximal de P si el único x ∈ P tal que m ≤ x es x = m.

La definición de elemento minimal se obtiene reemplazando ≤ por ≥.

Propiedades

A primera vista parecería que m debería ser un elemento máximo, lo que no es siempre cierto: la definición de elemento maximal es algo más débil. De hecho, pueden existir elementos maximales sin que haya un máximo. La razón es que, en general, ≤ es sólo un orden parcial en P; si m es un maximal y p ∈ P, cabe la posibilidad de que ni p ≤ m ni m ≤ p, con lo que m no sería máximo. Esto permite, además, que haya más de un elemento maximal en un conjunto.

Sin embargo, si m ∈ P es maximal y P tiene un máximo, se cumplirá que máx(P) ≤ m; por definición de máximo se debe tener m ≤ máx(P) y por lo tanto m = máx(P); en otras palabras, un máximo, si existe, es también el único maximal.

No es difícil ver que si ≤ es un orden total en P, las nociones de máximo y maximal coinciden: sean m ∈ P un elemento maximal, y p ∈ P arbitrario; por la condición de orden total, o bien p ≤ m o bien m ≤ p; en el segundo caso se tendría p = m por definición de maximal, con lo cual p ≤ m, y por consiguiente, m = máx(P).

No siempre existen los elementos maximales, ni siquiera en el caso en que P esté totalmente ordenado.

Ejemplos

Sea P = [0, ∞[ ⊆ R. Para todo m ∈ P se tiene x = m + 1 ∈ P pero m < x, con lo que ningún m puede ser maximal.

• Sea P = {q ∈ Q | 1 ≤ q² ≤ 2}; puesto que la raíz cuadrada de 2 no es racional, este conjunto no tiene elemento maximal.

• Sea A un conjunto con al menos dos elementos, y sea P = {{a} | a∈A}, parcialmente ordenado por inclusión. Todo elemento de P es a la vez maximal y minimal, y para cualesquiera {a}, {b} ∈ P distintos, ni {a} ⊆ {b}, ni {b} ⊆ {a} (con lo que no hay elemento máximo).

• Sea P = {(x,y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, tomando (a, b) ≤ (c, d) si a ≤ c y b ≤ d. Entonces P tiene un único elemento maximal, (4,4), que a la vez es máximo.

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En

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