Matrices Y Determinantes
jorga10 de Diciembre de 2012
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Cap´ıtulo 6
MATRICES Y DETERMINANTES
6.1. Introducci´on
Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, as´ı como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´asicamente en el siglo XIX
por matem´aticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton.
Las matrices se encuentran en aquellos ´ambitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´omicas y Biol´ogicas.
6.2. Matrices. Definici´on yp rimeros ejemplos
Una matriz es una tabla rectangular de n´umeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
...
...
. ..
...
am1 am2 am3 . . . amn
Columnas de la matriz A
←
←
←
←
Filas de la matriz A
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
As´ı el elemento a23 est´a en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representar´an con letras
may´usculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
A =
2 1
3 4
B =
√
6 −4 0
1 2 1
C =
3 1 0
2 −4 0
−1 15
√
2
1 0 0
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 2.¿Qu´e elemento es a21?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 3.¿Qu´e elemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 4 x 3.¿Qu´e elemento es c42?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜no o dimensi´on es m
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
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CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 83
6.3. Tipos de matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
A =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
es una matriz nula de tama˜no 2x5.
2. Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´on es 1x n.
Por ejemplo,
1 0 −4 9
es una matriz fila de tama˜no 1 x 4.
3. Se llama matriz columna a la que s´olo consta de una columna, es decir su dimensi´on ser´a m x
1, como por ejemplo:
C =
1
0
−
√
8
es una matriz columna de tama˜no 3 x 1.
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´umero de filas que de columnas, es decir su
dimensi´on es n x n. La matriz (2 1
3 4) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜no 2 x 2 o
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
D =
1 2 3
6 5 4
−3 −4 0
de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
... ...
. ..
...
an1 an2 an3 . . . ann
En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ıa formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+
a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
En la matriz D estar´ıa formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
E =
1 0 0 0
0 −4 0 0
3 4 5 0
1 3 16 −78
Triangular inferior
F =
1 4 1
3
0 9 −5
0 0 π
Triangular superior
CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 84
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, s´olo tiene elementos en la diagonal principal.
Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.
Un ejemplo de matriz diagonal ser´ıa:
G =
1 0 0 0
0 −45 0 0
0 0 3 0
0 0 0 0
Por ´ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal s´olo unos, se denomina matriz unidad
o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tama˜no de la matriz. Algunas matrices
identidad son:
I2 =
1 0
0 1
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6.4. Aplicaciones de las matrices
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar
valores num´ericos atendiendo a dos criterios o variables.
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos
ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la
tabla siguiente:
2 unid. 5 unid. 10 unid.
Color N 0’04 0’08 0’12
Color F 0’03 0’05 0’08
Sabiendo que en un a˜no se venden el siguiente n´umero de paquetes:
Color N Color F
2 unid. 700000 50000
5 unid. 600000 40000
10 unid. 500000 500000
Resumir la informaci´on anterior en 2 matrices A y B, de tama˜no respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las
v entas en un a˜no (A) y los precios (B).
Nos piden que organicemos la informaci´on anterior en dos matrices de tama˜no concreto. Si nos fijamos
en las tablas, es sencillo obtener las matrices:
A =
2 ud 5 ud 10 ud
700000 600000 500000
50000 40000 500000
N
F B =
N F
004 003
008 005
012 008
2 ud
5 ud
10 ud
Estas matrices se denominan matrices de informaci´on, y simplemente recogen los datos num´ericos del
problema en cuesti´on.
Otras matrices son las llamadas matrices de relaci´on, que indican si ciertos elementos est´an o no
relacionados entre s´ı. En general, la existencia de relaci´on se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia
de dicha relaci´on de expresa con un 0.
Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informaci´on dada por un grafo y expresarla
num´ericamente.
CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 85
En Matem´aticas, un grafo es una colecci´on cualquiera de puntos conectados por lineas.
Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo
mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.
* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.
Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:
Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.
Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos
fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente,
de tal forma que:
* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la
columna j mediante una linea que los una directamente.
* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una
linea que los una directamente.
La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior ser´a:
A
B
C
D
A B C D
0 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 0
Ejercicio
1) Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:
2) Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:
A
B
C
A B C
0 1 0
1 0 1
0 0 0
...